Probabilidad Condicional

¿Qué es la probabilidad condicional?

La probabilidad condicional responde a una pregunta muy concreta: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra A, sabiendo que B ya ocurrió? La información de que B pasó reduce el universo de posibilidades — ya no se consideran todos los casos, sino solo los que cumplen la condición B.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
donde P(B) > 0. Se lee: "probabilidad de A dado B".

Cuando el espacio muestral es equiprobable (todos los resultados tienen la misma probabilidad), la fórmula se puede aplicar directamente contando casos:

P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B)
n(A ∩ B) = casos donde ocurren A y B a la vez. n(B) = casos donde ocurre B.

La barra vertical | en P(A|B) es la clave de todo. Significa "dado que". Al conocer que B ya ocurrió, el espacio de posibilidades se achica: ya no interesa el total de resultados posibles, sino solo aquellos donde B se cumple.

Ejemplo intuitivo: si sabes que la carta que sacaron es roja, ya eliminaste la mitad de la baraja. Ahora solo hay 26 cartas posibles, no 52. Ese es exactamente el efecto de la condición.

¿Para qué sirve esto?

La probabilidad condicional aparece cada vez que se conoce información parcial sobre un experimento. En la vida real:

• Diagnósticos médicos: "Si el test dio positivo, ¿cuál es la probabilidad de tener la enfermedad?"
• Encuestas con filtros: "Entre los que estudian, ¿qué porcentaje aprueba?"
• Juegos de azar: "Sabiendo que la carta es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea figura?"
• Calidad industrial: "Dado que la pieza fue producida en la línea B, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?"

¿Qué nos resuelve?

• Calcular P(A|B) con la fórmula algebraica cuando se dan P(A∩B) y P(B).
• Calcular P(A|B) por conteo directo desde una tabla de doble entrada.
• Determinar si dos eventos son independientes: P(A|B) = P(A).
• Aplicar la regla de la multiplicación: P(A∩B) = P(A|B) · P(B).
• Calcular el complemento condicional: P(A'|B) = 1 − P(A|B).

Conceptos clave antes de resolver

La fórmula algebraica

Cuando el enunciado te da directamente las probabilidades como números (no una lista de casos), usas esta fórmula. Es simplemente una división: la probabilidad de que A y B ocurran juntos, dividida por la probabilidad de la condición.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Ejemplo: P(A∩B) = 0,12 y P(B) = 0,30.
P(A|B) = 0,12 / 0,30 = 0,40
El 40% de los casos donde ocurre B también cumplen A.

Independencia de eventos

Dos eventos son independientes cuando saber que B ocurrió no cambia nada en la probabilidad de A. Es como lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo — lo que salga en la moneda no depende del dado para nada.

Para verificar si son independientes, compara P(A) con P(A|B). Si dan el mismo valor, son independientes.

Son independientes si P(A|B) = P(A)
Atajo útil: si son independientes, P(A∩B) = P(A) · P(B)

Ejemplo: P(A) = 0,3 y P(A|B) = 0,3.
Como son iguales, A y B son independientes.
Atajo: P(A∩B) = 0,3 · P(B)

Regla de la multiplicación

Sirve cuando te preguntan la probabilidad de que dos cosas ocurran en secuencia, como sacar dos bolas de una urna sin reponer. Multiplicas la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo dado que el primero ya ocurrió.

P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
También funciona al revés: P(A ∩ B) = P(B|A) · P(A)

Ejemplo: urna con 3 rojas (R) y 2 azules (A), se sacan 2 bolas sin reponer. ¿P(sacar roja y luego azul)?

1.º sacada: hay 5 bolas en total, 3 son rojas → P(roja) = 3/5.
2.º sacada (dado que la 1.ª fue roja): ya no hay 5 bolas: se sacó una roja y no se devolvió, quedan 4 bolas (2 rojas y 2 azules). Por eso el denominador es 4, no 5.
De esas 4, 2 son azules → P(azul|roja) = 2/4.

Regla de la multiplicación: P(roja y luego azul) = P(roja) · P(azul|roja) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10

Complemento condicional

Si ya sabes P(A|B) y te preguntan la probabilidad de que A no ocurra (dado B), simplemente réstale a 1. La condición B no cambia — solo cambias el evento.

P(A'|B) = 1 − P(A|B)

¿Cómo se lee P(A|B)?
Se pronuncia "probabilidad de A dado B". La barra vertical | es la clave: todo lo que está a su derecha ya ocurrió. No es un cálculo de división — es una condición.

¿Qué cambia cuando hay condición?
Sin condición calculas sobre todo el espacio muestral Ω. Con condición, ese universo se achica: solo quedan los casos donde B ocurre. Dentro de ese universo reducido buscas cuántos también cumplen A.

Ejemplo de lectura:
P(llueve | nublado) → "dado que el cielo está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que llueva?". Ya no preguntas sobre todos los días del año, sino solo sobre los días nublados.

Regla de oro: la condición B es el nuevo denominador. Todo lo que no sea B queda fuera del cálculo.

Formas de resolver un ejercicio

Forma 1 — Contando casos (dado, urna, baraja)

Esta forma se usa cuando puedes listar todos los resultados posibles, como los números de un dado o las cartas de una baraja. El proceso es simple: primero filtras por la condición, luego cuentas.

1. Lee la condición — lo que está después de la barra |. Escribe solo esos casos. Olvida todo lo demás.
2. Busca dentro de esos casos cuántos también cumplen el evento A que te preguntan.
3. Divide: casos que cumplen A ÷ total de casos con la condición.

Ejemplo paso a paso: Lanzas un dado. Te dicen que salió un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3?

Paso 1 — La condición es "par": filtra y quedan {2, 4, 6}. Esos son tus únicos casos posibles ahora.
Paso 2 — De {2, 4, 6}, ¿cuáles son mayores que 3? Solo el 4 y el 6 → 2 casos.
Paso 3 — P(mayor que 3 | par) = 2 ÷ 3 = 2/3

Forma 2 — Con la fórmula (cuando el enunciado da probabilidades)

A veces la PAES no te da una lista de casos sino directamente números como "la probabilidad de que ocurran A y B juntos es 0,12". En ese caso usas la fórmula:

P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)
P(A∩B) es la probabilidad de que ocurran A y B al mismo tiempo. P(B) es la probabilidad de la condición.

1. Identifica los dos valores que te da el enunciado: P(A∩B) y P(B).
2. Divide P(A∩B) entre P(B).
3. Simplifica si es una fracción, o deja el decimal.

Ejemplo: El enunciado dice: P(A∩B) = 0,12 y P(B) = 0,3.
P(A|B) = 0,12 ÷ 0,3 = 0,4 (es decir, 40%)

Forma 3 — Con tabla de doble entrada (la más frecuente en la PAES)

La PAES suele presentar una tabla con dos categorías cruzadas (por ejemplo, género y deporte favorito). La tabla ya tiene todos los números — solo tienes que saber dónde mirar.

1. Encuentra la condición en la tabla — busca la fila o columna que corresponde a lo que dice "dado que" o "sabiendo que".
2. El total de esa fila o columna es el denominador. No uses el total general de la tabla.
3. Dentro de esa fila o columna, busca el número que corresponde al evento A. Ese es el numerador.

P(Aprueba | Estudia) = 40/50 = 4/5. La condición "Estudia" restringe al total de la fila "Estudia" = 50.

Caminos más fáciles para resolver

• La barra | significa "filtrar": todo lo que está a la derecha de | es el nuevo universo. Olvida el resto.
• En tablas, busca el total de fila o columna: ese total es siempre el denominador cuando la condición es una categoría de la tabla.
• P(A|B) ≠ P(B|A): el orden importa. P(Mujer|Zurda) ≠ P(Zurda|Mujer).
• Para verificar independencia: calcula P(A) y P(A|B) — si son iguales, los eventos son independientes.
• Regla de la multiplicación al revés: si te piden P(A∩B) y te dan P(A|B) y P(B), multiplica directamente.

Errores que hay que evitar

• Dividir por el total general en vez del total de B: en el ejemplo de la tabla, P(Aprueba|Estudia) = 40/100 es incorrecto; el denominador es 50 (total de "Estudia").
• Confundir P(A|B) con P(B|A): son distintas. P(llueve|nublado) ≠ P(nublado|llueve).
• Asumir independencia sin verificar: dos eventos son independientes solo si P(A|B) = P(A), no por intuición.
• Confundir "mutuamente excluyentes" con "independientes": si A y B son mutuamente excluyentes y P(B)>0, entonces P(A|B)=0, lo cual significa que son dependientes (no independientes).

Resumen rápido

• P(A|B) = P(A∩B) / P(B) — fórmula central.
• En espacio equiprobable: P(A|B) = n(A∩B) / n(B).
• Independencia: P(A|B) = P(A) ↔ P(A∩B) = P(A)·P(B).
• Regla multiplicación: P(A∩B) = P(A|B)·P(B).
• Complemento condicional: P(A'|B) = 1 − P(A|B).
• En tablas PAES: el total de la fila/columna de la condición es el denominador.