¿Qué son las técnicas de conteo?
Cuando necesitas saber cuántas formas diferentes hay de organizar o elegir elementos, las técnicas de conteo son tu herramienta. En la PAES aparecen dos tipos fundamentales: permutaciones (cuando el orden importa) y combinaciones (cuando el orden no importa). La pregunta que siempre debes hacerte es: ¿cambia el resultado si cambio el orden de los elegidos?
Antes de cualquier cálculo necesitas dominar el factorial y el principio multiplicativo — los cimientos sobre los que se construyen ambas fórmulas.
La diferencia fundamental: en una permutación los mismos elementos en distinto orden cuentan como resultados diferentes (ABC ≠ BAC). En una combinación solo importa qué elementos se eligen, no en qué orden aparecen (AB = BA).
La pregunta clave antes de cualquier cálculo:
¿Si cambio el orden de los elegidos, obtengo un resultado diferente?
Sí → Permutación · No → Combinación
¿Para qué sirve esto?
- Saber de cuántas formas se puede organizar un grupo de personas en una fila.
- Calcular cuántas contraseñas distintas se pueden formar con ciertos dígitos o letras.
- Determinar de cuántas maneras se puede elegir un comité de 3 personas de un grupo de 10.
- Calcular cuántos podios distintos (1°, 2°, 3°) pueden formarse en una carrera de 8 corredores.
- Calcular probabilidades: si sabes cuántos resultados totales hay y cuántos son favorables, aplicas P = favorables / totales.
¿Qué nos resuelve?
- Arreglos con orden: filas, claves, podios, secuencias → permutaciones.
- Selecciones sin orden: comités, grupos, manos de cartas → combinaciones.
- Opciones independientes por etapas: menús, rutas, decisiones → principio multiplicativo.
- Probabilidades de eventos específicos: combinando conteo con P = favorables / totales.
Conceptos clave antes de resolver
Factorial (n!)
El factorial de n es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Aparece en las fórmulas de permutaciones y combinaciones porque cuenta cuántas formas distintas hay de ordenar elementos: con 3 elementos hay 3! = 6 órdenes posibles, con 4 hay 4! = 24, y así sucesivamente.
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
3! = 6 · 4! = 24 · 5! = 120 · 0! = 1 (por definición)
El caso 0! = 1 parece raro pero tiene sentido: hay exactamente una forma de ordenar cero elementos — no hacer nada. Esto evita que las fórmulas queden indefinidas cuando r = n.
Truco para simplificar: cuando el numerador y el denominador comparten un factorial, se cancelan. Por ejemplo, 8!/5! no requiere calcular 40.320 ÷ 120 — basta con multiplicar 8 × 7 × 6 = 336.
Principio multiplicativo
Si una tarea se divide en pasos independientes, el total de formas es el producto de las opciones de cada paso. Si hay 3 rutas de A a B y 4 rutas de B a C, hay 3 × 4 = 12 rutas de A a C.
Permutaciones — cuando el orden importa
Usas permutaciones cuando el orden en que se eligen los elementos sí cambia el resultado. Un podio donde Ana queda primera y Luis segundo es completamente distinto a uno donde Luis queda primero y Ana segundo — aunque sean las mismas dos personas.
P(n, r) = n! / (n − r)!
n = total de elementos · r = cuántos se eligen en orden
¿Por qué se divide por (n−r)!? Porque de los n! órdenes posibles de todos los elementos, los últimos (n−r) que no se eligen son irrelevantes — al dividir por (n−r)! se eliminan esas repeticiones.
Caso especial P(n, n) = n!: cuando se usan todos los elementos no queda nada que eliminar, y (n−n)! = 0! = 1, así que P(n,n) = n!/1 = n!. Ejemplo: 4 personas en 4 sillas → 4! = 24 formas distintas.
Combinaciones — cuando el orden no importa
Usas combinaciones cuando el orden en que se eligen los elementos no cambia el resultado. El comité {Ana, Luis, María} es exactamente el mismo que {María, Ana, Luis} o {Luis, María, Ana} — solo importa quiénes están, no en qué orden fueron nombrados.
C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)
También se escribe "n sobre r" o ⁿCᵣ
¿Por qué se divide por r!? Porque la fórmula parte de P(n,r) — que ya cuenta todos los órdenes posibles de los r elegidos. Como en combinaciones el orden no importa, hay que eliminar las r! formas distintas de ordenar esos mismos r elementos. Al dividir P(n,r) entre r! se obtiene C(n,r).
Propiedad útil — C(n,r) = C(n, n−r): elegir 3 de 10 es lo mismo que decidir cuáles 7 de 10 quedan fuera. Siempre usa el r más pequeño para simplificar el cálculo.
Tabla comparativa
| Criterio | Permutación | Combinación |
|---|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí | No |
| Fórmula | P(n,r) = n! / (n−r)! | C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!) |
| Ejemplo típico | Podio, contraseña, fila, cargos | Comité, grupo, mano de cartas |
| Palabras clave | ordenar, arreglar, colocar, secuencia | elegir, seleccionar, grupo, equipo |
¿Cómo resolver?
Identificar si es permutación o combinación
Antes de aplicar cualquier fórmula, hazte esta pregunta: ¿si cambio el orden de los elegidos, obtengo un resultado diferente?
- Sí cambia — podio 1°-2°-3° ≠ podio 2°-1°-3°, contraseña 1-2-3 ≠ 3-2-1 → Permutación
- No cambia — comité {Ana, Luis} = comité {Luis, Ana} → Combinación
Resolver una permutación
Ejemplo: ¿De cuántas formas pueden quedar en 1°, 2° y 3° lugar 8 corredores en una carrera?
- Identificar n y r: hay 8 corredores (n = 8), se eligen 3 puestos (r = 3). El orden sí importa (1° ≠ 2°).
- Aplicar fórmula: P(8, 3) = 8! / (8−3)! = 8! / 5!
- Cancelar y multiplicar: 8! / 5! = (8 × 7 × 6 × 5!) / 5! = 8 × 7 × 6 = 336
P(8, 3) = 336 podios distintos
Resolver una combinación
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité de 3 personas de un grupo de 10?
- Identificar n y r: 10 personas (n = 10), se eligen 3 (r = 3). El orden no importa.
- Aplicar fórmula: C(10, 3) = 10! / (3! × 7!)
- Cancelar y simplificar: = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120
C(10, 3) = 120 comités distintos
Resolver con principio multiplicativo
Ejemplo: Un estudiante debe elegir 1 plato principal de 4 opciones, 1 ensalada de 3 opciones y 1 bebida de 2 opciones. ¿Cuántos menús distintos puede armar?
4 × 3 × 2 = 24 menús distintos
Cada decisión es independiente → se multiplican las opciones de cada etapa.
Caminos más fáciles para resolver
- Cancela factoriales antes de multiplicar: en P(8,3) = 8!/5!, no calcules 8! completo. Cancela el 5! y multiplica solo 8 × 7 × 6.
- Atajo para C(n,r) con r pequeño: multiplica r factores desde n hacia abajo y divide por r!. C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120.
- C(n,r) = C(n, n−r): elegir 3 de 10 es lo mismo que dejar fuera 7 de 10. Siempre usa el r más pequeño para simplificar.
- La diferencia entre P y C es siempre r!: P(n,r) = C(n,r) × r!. Si tienes C y necesitas P, multiplica por r!.
- Cargos diferenciados = permutación: si el problema menciona presidente, secretario y tesorero elegidos de 10 personas, es P(10,3) — aunque parezca una selección.
- Verifica la magnitud: P siempre da un número mayor o igual que C para los mismos n y r. Si C te dio más que P, hay un error.
💡 ¿Sabías que? En la PAES, "comité" o "grupo" casi siempre indica combinación. "Presidente, secretario, tesorero" o cualquier cargo diferenciado indica permutación — aunque sean las mismas personas elegidas del mismo grupo.
Errores que hay que evitar
- Confundir permutación con combinación: es el error más frecuente. Pregunta siempre: ¿cambia algo si cambio el orden?
- Calcular n! completo innecesariamente: P(10,3) = 10!/7! no requiere calcular 3.628.800. Simplifica cancelando: 10 × 9 × 8 = 720.
- Olvidar que 0! = 1: en C(n,n) = n!/(n! × 0!) = 1. El factorial de cero no es cero.
- No leer las restricciones: "al menos uno rojo" o "A y B deben estar juntos" cambia completamente el enfoque — se resuelve por casos o por complemento.
- Aplicar solo una fórmula a un problema por etapas: si el problema tiene dos selecciones independientes, aplica cada una por separado y luego multiplica.
Resumen rápido
- Factorial: n! = n × (n−1) × … × 1. Por definición, 0! = 1.
- Principio multiplicativo: pasos independientes → multiplicar las opciones de cada paso.
- Permutación (orden importa): P(n,r) = n!/(n−r)! — podios, filas, contraseñas, cargos.
- Combinación (orden no importa): C(n,r) = n!/(r!×(n−r)!) — grupos, comités, selecciones.
- Atajo: cancela factoriales antes de multiplicar. C(n,r) = C(n, n−r).
- La pregunta clave: ¿el orden cambia el resultado? Sí → P. No → C.
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