Modelos Probabilísticos - Distribución Binomial

¿Qué es la Distribución Binomial?

Cuando repites una misma prueba varias veces y cada vez puede salir "éxito" o "fracaso", la distribución binomial te permite calcular la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n intentos.

Por ejemplo: lanzar una moneda 5 veces y contar cuántas caras salen; responder 10 preguntas al azar y contar cuántas aciertas; fabricar 8 piezas y contar cuántas salen defectuosas. En todos estos casos, hay un número fijo de intentos, dos posibles resultados y una probabilidad constante en cada intento.

La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes, cuando la probabilidad de éxito p es constante en cada ensayo.

¿Qué nos resuelve?

• Probabilidad de exactamente k éxitos: P(X = k)
• Probabilidad de al menos k éxitos: P(X ≥ k)
• Probabilidad de a lo más k éxitos: P(X ≤ k)
• Número esperado de éxitos (media): μ = n·p

Conceptos clave antes de resolver

Las 4 condiciones de la distribución binomial

La fórmula

Media (valor esperado)

¿Cómo resolver?

Exactamente k éxitos

Enunciado: Un arquero encesta el 60% de sus tiros. Lanza 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 3?

Paso 1 — Identificar los tres valores del enunciado:

• n = 5 → "lanza 5 veces" — es el número total de ensayos (intentos fijos)
• k = 3 → "exactamente 3" — es el número de éxitos que queremos calcular
• p = 0,6 → "encesta el 60%" — es la probabilidad de éxito en cada tiro. El complemento: 1−p = 0,4 (probabilidad de fallar)

Paso 2 — Calcular el combinatorio C(5,3):

C(5,3) = 5! / (3! · 2!) = (5·4·3·2·1) / [(3·2·1)·(2·1)] = 120 / 12 = 10

Esto significa que hay 10 formas distintas de que el arquero enceste exactamente 3 de sus 5 tiros (por ejemplo: encesta los tiros 1, 2 y 3; o el 1, 2 y 4; etc.).

Paso 3 — Calcular p^k = (0,6)³:

(0,6)³ = 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,216

Esta es la probabilidad de que ocurran los 3 éxitos (3 tiros encestados). Se eleva a k=3 porque los 3 éxitos deben ocurrir juntos.

Paso 4 — Calcular (1−p)^n−k = (0,4)²:

(0,4)² = 0,4 × 0,4 = 0,16

Esta es la probabilidad de los 2 fracasos (tiros fallados). Se eleva a n−k = 5−3 = 2 porque quedan 2 tiros que deben salir mal.

Paso 5 — Multiplicar los tres factores:

P(X=3) = C(5,3) · (0,6)³ · (0,4)² = 10 · 0,216 · 0,16 = 0,3456

Hay un 34,56% de probabilidad de que el arquero enceste exactamente 3 de sus 5 tiros.

Al menos k éxitos: P(X ≥ k)

Enunciado: Un dado se lanza 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?

¿Por qué usar el complemento? "Al menos un 6" incluye los casos X=1, X=2 y X=3 — habría que calcular tres términos y sumarlos. Es más rápido calcular el único caso contrario (ningún 6) y restarlo de 1.

Paso 1 — Identificar los valores:

• n = 3 → "se lanza 3 veces"
• k = 1 → "al menos 1" (buscamos k ≥ 1)
• p = 1/6 → probabilidad de sacar 6 en un dado. Complemento: 1−p = 5/6

Paso 2 — Aplicar el complemento:

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)

"Al menos uno" es lo contrario de "ninguno". P(X=0) es la probabilidad de que los 3 lanzamientos fallen — ningún 6.

Paso 3 — Calcular P(X = 0):

P(X=0) = C(3,0) · (1/6)⁰ · (5/6)³ = 1 · 1 · (5/6)³ = 125/216

C(3,0) = 1 y (1/6)⁰ = 1, así que solo queda (5/6)³ = 125/216 ≈ 0,579.

Paso 4 — Restar de 1:

P(X ≥ 1) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,421

Hay aproximadamente un 42,1% de probabilidad de sacar al menos un 6 en 3 lanzamientos.

Regla general para "al menos k" con k > 1: restar de 1 la suma P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k−1). Siempre conviene el complemento cuando k es grande y quedan pocos casos excluidos.

A lo más k éxitos: P(X ≤ k)

Enunciado: Una prueba tiene 5 preguntas de V/F (p = 0,5). ¿Probabilidad de acertar a lo más 1?

¿Por qué sumar directo? "A lo más 1" incluye X=0 y X=1 — solo 2 términos. Es más rápido sumarlos directamente que calcular el complemento (que tendría 4 términos: X=2, 3, 4 y 5).

Paso 1 — Identificar los valores:

• n = 5 → 5 preguntas
• k = 1 → "a lo más 1" (calculamos X=0 y X=1)
• p = 0,5 → probabilidad de acertar cada V/F al azar

Paso 2 — Calcular P(X = 0):

P(X=0) = C(5,0) · (0,5)⁰ · (0,5)⁵ = 1 · 1 · 1/32 = 1/32

Paso 3 — Calcular P(X = 1):

P(X=1) = C(5,1) · (0,5)¹ · (0,5)⁴ = 5 · 0,5 · 1/16 = 5/32

Paso 4 — Sumar los dos términos:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/32 + 5/32 = 6/32 = 3/16 ≈ 0,1875

Hay aproximadamente un 18,75% de probabilidad de acertar a lo más 1 pregunta respondiendo al azar.

Caminos más fáciles para resolver

• Identifica n, k y p antes de tocar la fórmula — escríbelos aparte. El error más frecuente es confundir k con p o con n al sustituir.
• C(n,k) = C(n, n−k) — si k es grande, calcula el complemento: C(10,8) = C(10,2) = 45. Mucho más rápido.
• "Al menos 1" = 1 − P(X=0) — es el caso más frecuente y el más fácil: P(X=0) = (1−p)ⁿ, sin necesidad de C(n,0).
• Media μ = n·p siempre — si el problema pide "¿cuántos se espera que resulten exitosos?", la respuesta es n·p sin calcular toda la distribución.
• Verifica que p + (1−p) = 1 — antes de calcular, confirma que estás usando la probabilidad de éxito y su complemento correctamente.

Errores que hay que evitar

• Confundir k con n: k es el número de éxitos que buscas, n es el total de ensayos. Son distintos.
• Olvidar C(n,k): la fórmula tiene tres factores. Sin el combinatorio, el resultado está mal.
• Usar p donde va (1−p) o viceversa: p va elevado a k (éxitos), (1−p) va elevado a n−k (fracasos).
• Aplicar binomial cuando los ensayos no son independientes: si el resultado anterior afecta al siguiente (extraer sin reposición), el modelo correcto no es el binomial.
• "Al menos k" confundido con "exactamente k": "al menos 2" es P(X≥2), que incluye 2, 3, 4, …, n — no solo P(X=2).

Resumen rápido

• Condiciones: n fijos, 2 resultados, p constante, ensayos independientes.
• Fórmula: P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^n−k
• Media: μ = n·p
• Al menos 1: 1 − (1−p)ⁿ
• C(n,k) = C(n, n−k) — usar el complemento cuando k es grande.