Semejanza y Teorema de Thales

Misma forma, distinto tamaño

Imagina que amplías una foto: la persona sigue siendo la misma persona, pero ocupa más espacio. Eso es la semejanza. Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño. Sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales (están en la misma razón k).

El Teorema de Thales es la aplicación más famosa de la semejanza: cuando una recta paralela corta dos lados de un triángulo, genera segmentos proporcionales. Con esa regla se puede calcular la altura de un árbol usando su sombra, o encontrar un lado desconocido en cualquier figura a escala.

¿Para qué sirve esto?

¿Qué nos resuelve?

• Demostrar que dos triángulos son semejantes usando uno de los tres criterios (AA, LLL, LAL)
• Encontrar un lado desconocido planteando una proporción
• Aplicar Thales para calcular segmentos cortados por rectas paralelas

Conceptos clave antes de resolver

ΔABC ~ ΔDEF (se lee "el triángulo ABC es semejante al DEF") significa:
∠A = ∠D  ·  ∠B = ∠E  ·  ∠C = ∠F
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (razón de semejanza)

Los tres criterios — cuándo son semejantes sin medir todo

Criterio	Qué necesitas comprobar	Cuándo usarlo
AA	2 pares de ángulos iguales	El más común en PAES
LLL	Los 3 lados son proporcionales (misma razón k)	Cuando dan las medidas de los 3 lados
LAL	1 ángulo igual + los 2 lados que lo forman son proporcionales	Cuando dan un ángulo y los lados adyacentes

¿Cómo resolver?

Criterio AA — el más rápido

Basta con encontrar 2 ángulos iguales. El tercer ángulo será igual automáticamente (la suma siempre es 180°).

Criterio LLL — tres lados proporcionales

Divide cada par de lados correspondientes. Si los tres cocientes son iguales, son semejantes.

Criterio LAL — un ángulo entre lados proporcionales

Calcular un lado desconocido

Una vez que sabes que dos triángulos son semejantes, cualquier lado desconocido se encuentra con una proporción:

1. Identifica qué lados son homólogos (se oponen al mismo ángulo)
2. Plantea: lado_chico / lado_grande = otro_lado_chico / x
3. Despeja x con multiplicación cruzada

Ejemplo completo: ΔABC ~ ΔDEF. AB = 4, BC = 6, DE = 10. ¿Cuánto mide EF?

AB/DE = BC/EF → 4/10 = 6/EF
EF = (6 × 10) / 4 = 60/4 = 15

Teorema de Thales — configuración en triángulo

Cuando una recta paralela a la base corta los dos lados del triángulo, divide esos lados de forma proporcional.

Teorema de Thales — configuración cruzada (reloj de arena)

Dos paralelas cortadas por dos transversales que se cruzan en un punto O forman dos triángulos enfrentados. Los ángulos opuestos por el vértice (en O) son iguales, y los alternos internos también → criterio AA → triángulos semejantes.

Caminos más fáciles para resolver

• Calcula k primero. Si tienes un par de lados homólogos conocidos, divídelos: k = lado_grande / lado_chico. Luego multiplica (o divide) cualquier otro lado por k. Evitas plantear proporciones largas.
• Ángulo recto + ángulo compartido = AA automático. Si dos triángulos comparten un ángulo y uno de los dos tiene ángulo recto, ya tienes 2 ángulos iguales → son semejantes.
• Mantén la dirección de las fracciones. Si pones grande/chico en la primera fracción, pon grande/chico en todas. Mezclar la dirección es el error más común.
• En Thales, ojo con el lado total. Si te dan AD = 4 y DB = 6, el lado total AB = 10. Muchos confunden y usan solo DB cuando necesitan AB.
• Las áreas crecen al cuadrado. Si los lados tienen razón k = 3, el área es 9 veces mayor. Si k = 1/2, el área es 1/4 del original.

Errores que hay que evitar

Error 1 — Mezclar lados en la proporción:
✗ Incorrecto: AB/EF = BC/DE (lados de distintos triángulos mezclados)
✓ Correcto: AB/DE = BC/EF (siempre el mismo triángulo arriba)

Error 2 — Confundir segmento parcial con lado total en Thales:
Si AD = 4 y AB = 10 (total), no puedes hacer AD/DB = AE/BC.
Para relacionar las bases, usa los triángulos completos: AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Error 3 — En la configuración cruzada, cruzar las transversales:
✗ Incorrecto: AO/OC = BO/OD (mezclando transversales)
✓ Correcto: AO/OC = BO/OD (misma transversal, arriba/abajo)

Resumen rápido