Teorema de Pitágoras

La relación que conecta los tres lados de un triángulo rectángulo

¿Para qué sirve esto?

El teorema permite calcular distancias que no se pueden medir directamente. Cada vez que se tiene una situación con un ángulo recto y dos datos de longitud, se puede encontrar el tercero.

• Calcular la diagonal de un rectángulo conociendo sus lados
• Determinar la altura de un triángulo isósceles o equilátero
• Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
• Resolver problemas de escaleras, rampas, postes y cables
• Verificar si un triángulo es rectángulo a partir de sus tres lados

¿Qué nos resuelve?

• Encontrar la hipotenusa cuando se conocen los dos catetos
• Encontrar un cateto cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto
• Verificar si tres longitudes forman un triángulo rectángulo
• Calcular alturas de figuras geométricas que generan triángulos rectángulos

Conceptos clave antes de resolver

En un triángulo rectángulo hay tres lados con nombres específicos:

Ternas pitagóricas — conjuntos de tres enteros que satisfacen el teorema y aparecen frecuentemente en la prueba:

¿Cómo resolver?

Tipo 1 — Calcular la hipotenusa

Se conocen los dos catetos y se pide la hipotenusa.

1. Identificar: a = primer cateto, b = segundo cateto, c = hipotenusa (desconocida)
2. Plantear: c² = a² + b²
3. Calcular: elevar al cuadrado cada cateto y sumar
4. Despejar: c = √(a² + b²)

Ejemplo: Catetos de 6 y 8. → c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = √100 = 10

Tipo 2 — Calcular un cateto

Se conocen la hipotenusa y un cateto, y se pide el cateto restante.

1. Identificar: c = hipotenusa, b = cateto conocido, a = cateto desconocido
2. Partir de: a² + b² = c²
3. Despejar: a² = c² − b²
4. Calcular: a = √(c² − b²)

Ejemplo: Hipotenusa = 13, cateto = 5. → a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → a = √144 = 12

Tipo 3 — Verificar si un triángulo es rectángulo

Se dan tres longitudes y se pregunta si forman un triángulo rectángulo.

1. Identificar el lado mayor — ese sería la hipotenusa si fuera rectángulo
2. Calcular a² + b² (suma de cuadrados de los dos menores)
3. Calcular c² (cuadrado del mayor)
4. Si a² + b² = c² → es rectángulo. Si no → no lo es

Ejemplo: Lados 9, 40, 41. → 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² → Sí es rectángulo

Tipo 4 — Problema contextualizado

Un enunciado describe una situación real (escalera, poste, terreno). El procedimiento es el mismo, pero primero hay que identificar cuál es el triángulo rectángulo y cuál es la hipotenusa.

Ejemplo: Una escalera de 10 m apoyada en una pared, con la base a 6 m de la pared. ¿A qué altura llega? → La escalera es la hipotenusa (10), la base es un cateto (6), la altura es el otro cateto. → h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 → h = 8 m

Caminos más fáciles para resolver

• Reconocer la terna de inmediato: si los datos son 3-4, 5-12 u 8-15, la hipotenusa es 5, 13 o 17 respectivamente — sin calcular.
• Múltiplos de ternas: si los catetos son 6 y 8 (múltiplos de 3 y 4 por 2), la hipotenusa es 10 (5 × 2). Escalar la terna evita operar.
• Diagonal de rectángulo: un rectángulo de lados a y b se divide en dos triángulos rectángulos con catetos a y b. La diagonal es √(a² + b²).
• Altura de equilátero: un triángulo equilátero de lado l tiene altura h = (l√3)/2. Se obtiene aplicando Pitágoras al triángulo que resulta de trazar la altura.
• Verificar si los números forman terna antes de calcular: ahorra operaciones cuando el problema pide confirmar si es rectángulo.

Errores que hay que evitar

Error 1 — Sumar los cuadrados incluyendo la hipotenusa:
La fórmula es a² + b² = c², donde c es la hipotenusa. Si se toma el lado mayor como cateto y se suman los tres, el resultado es incorrecto.

Error 2 — Confundir hipotenusa con cateto:
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo de 90°, no necesariamente el que parece más largo en el dibujo. En un problema con ángulos nombrados, identificar primero dónde está el 90°.

Error 3 — Olvidar la raíz cuadrada al final:
Después de calcular c² = 100, la respuesta es c = 10, no 100. El teorema da el cuadrado del lado; siempre hay que extraer la raíz.

Error 4 — Restar en orden equivocado al buscar cateto:
Si se busca un cateto: a² = c² − b². Si se escribe b² − c², el resultado es negativo o erróneo. La hipotenusa al cuadrado siempre va primero en la resta.

Error 5 — Aplicar el teorema a triángulos que no son rectángulos:
El teorema solo es válido para triángulos rectángulos. Si el problema no indica un ángulo de 90°, no se puede usar directamente.

Resumen rápido