Áreas y Perímetros

Áreas y Perímetros de figuras planas

Toda figura geométrica plana tiene dos medidas fundamentales que describen cosas distintas: el área mide el espacio interior que ocupa la figura (cuánto papel necesito para cubrirla), y el perímetro mide la longitud total de su contorno (cuánto hilo necesito para rodearla). Confundirlos es el error más frecuente en la PAES.

Cada figura tiene sus propias fórmulas. El desafío no es memorizar una sola fórmula, sino reconocer qué figura tienes delante y aplicar la correcta. Una misma figura puede pedir área, perímetro, o ambas en distintas partes de un problema.

Área → superficie interior → se mide en cm², m², etc.
Perímetro → contorno exterior → se mide en cm, m, etc. (unidades lineales)

¿Para qué sirve esto?

Las áreas y perímetros aparecen en prácticamente toda situación que involucre espacio físico:

• Construcción: calcular cuántos metros cuadrados de piso, pintura o cerámica necesita una habitación
• Jardinería y agronomía: determinar cuánto fertilizante cubre un terreno o cuánta malla perimetral se necesita
• Diseño: comparar el espacio real de dos planos arquitectónicos, calcular la tela de una figura decorativa
• Economía doméstica: saber cuántos metros de cornisa comprar para rodear el techo de una habitación
• Problemas combinados: una figura dentro de otra — área de la zona sombreada = área total − área de la figura interior

¿Qué nos resuelve?

• Calcular el área o perímetro de figuras básicas (cuadrado, rectángulo, triángulo, paralelogramo, trapecio, círculo)
• Encontrar un dato desconocido (base, altura, lado) dado el área o el perímetro
• Comparar áreas de figuras distintas o determinar cuál es mayor
• Calcular el área de figuras compuestas descomponiéndolas en figuras básicas
• Resolver problemas de zona sombreada: área total − área de la parte no sombreada

Conceptos clave antes de resolver

Altura de una figura: siempre es la distancia perpendicular entre la base y el vértice (o lado) opuesto. En un triángulo o trapecio obtusángulo, la altura puede caer fuera de la figura — pero sigue siendo la perpendicular.

¿Cómo resolver?

Cuadrado y Rectángulo

Son los más directos. Identifica los datos, aplica la fórmula, verifica las unidades.

1. Identificar si es cuadrado (todos los lados iguales) o rectángulo (lados a pares iguales)
2. Área cuadrado: L². Rectángulo: base × altura
3. Perímetro cuadrado: 4L. Rectángulo: 2(b + h)

Rectángulo de 8 cm × 5 cm → A = 40 cm² · P = 2(8+5) = 26 cm

Triángulo

El área siempre necesita la altura perpendicular, nunca el lado oblicuo. En triángulo rectángulo los catetos son base y altura entre sí.

1. Identificar cuál es la base y cuál es la altura perpendicular correspondiente
2. Aplicar A = (base × altura) / 2
3. Para el perímetro, sumar los tres lados: P = a + b + c

Base = 12 cm, altura = 7 cm → A = (12 × 7) / 2 = 42 cm²

Paralelogramo

El paralelogramo tiene la misma fórmula de área que el rectángulo (base × altura), pero su altura NO es el lado oblicuo — es la distancia perpendicular entre las dos bases paralelas.

1. Identificar la base y la altura perpendicular (no el lado inclinado)
2. Área: base × altura
3. Perímetro: 2(a + b) donde a y b son los dos pares de lados iguales

Base = 10 cm, lado oblicuo = 6 cm, altura = 5 cm → A = 10 × 5 = 50 cm² · P = 2(10+6) = 32 cm

Trapecio

El trapecio tiene dos bases paralelas de distinta longitud (B = base mayor, b = base menor) y una altura h perpendicular entre ellas. La fórmula promedia las dos bases y multiplica por la altura.

1. Identificar la base mayor (B), la base menor (b) y la altura perpendicular (h)
2. Área: ((B + b) × h) / 2
3. Perímetro: suma de los cuatro lados individuales

B = 14 cm, b = 8 cm, h = 5 cm → A = ((14+8) × 5) / 2 = (22 × 5) / 2 = 55 cm²

Círculo

El radio (r) es la distancia del centro al borde. El diámetro es el doble del radio. La circunferencia es el perímetro del círculo.

1. Si te dan el diámetro: r = d/2
2. Área: π × r²
3. Circunferencia (perímetro): 2 × π × r

Radio = 7 cm → A = π × 49 ≈ 153,9 cm² · C = 2π × 7 ≈ 44,0 cm

Caminos más fáciles para resolver

• Cuadrado vs rectángulo: si el área y el perímetro son iguales numéricamente, el cuadrado siempre es más eficiente (mayor área por menor perímetro)
• Trapecio = rectángulo con base promedio: A = base_promedio × h, donde base_promedio = (B+b)/2. Ayuda a visualizar la fórmula
• Paralelogramo = rectángulo "torcido": si lo "enderezas" cortando el triángulo de un costado y pegándolo al otro, obtienes un rectángulo de la misma base y altura
• Figuras compuestas: descompón en rectángulos y triángulos, calcula el área de cada parte y suma
• Zona sombreada: A(sombra) = A(figura grande) − A(figura pequeña interior)
• Despejar la base o altura: si A = b × h, entonces b = A / h. Si A = πr², entonces r = √(A/π)
• Semicírculo: A = πr²/2 · Perímetro = πr + 2r (arco + diámetro)

Errores que hay que evitar

• Usar el lado oblicuo como altura: en paralelogramos y trapecios la altura es la perpendicular, nunca el lado inclinado
• Confundir radio con diámetro: si el enunciado da el diámetro, hay que dividir por 2 antes de calcular el área
• Mezclar unidades: si la base está en metros y la altura en centímetros, convertir antes de operar
• Olvidar el /2 en triángulo y trapecio: A(triángulo) = bh/2, no bh. A(trapecio) = (B+b)h/2, no (B+b)h
• Sumar lados iguales dos veces en el perímetro del rectángulo: P = 2(b+h), no b+h

Resumen rápido

• Cuadrado: A = L² · P = 4L
• Rectángulo: A = b·h · P = 2(b+h)
• Triángulo: A = b·h/2 · P = a+b+c
• Paralelogramo: A = b·h (h perpendicular) · P = 2(a+b)
• Trapecio: A = (B+b)·h/2 · P = B+b+c+d
• Círculo: A = πr² · C = 2πr
• Zona sombreada: A(total) − A(interior)
• La altura siempre es perpendicular a la base — nunca el lado inclinado