¿Qué son las inecuaciones?
Una inecuación es una expresión matemática que compara dos cantidades usando signos de desigualdad (<, >, ≤, ≥) en lugar de la igualdad (=). A diferencia de una ecuación —que tiene una sola respuesta exacta— la inecuación tiene un rango de soluciones: todos los valores que cumplen la condición.
Por ejemplo, x + 3 < 8 no pregunta cuánto es x exactamente, sino qué valores de x hacen verdadera esa desigualdad. La respuesta es x < 5: cualquier número menor que 5 funciona — hay infinitas soluciones posibles.
¿Para qué sirve esto?
Imagina que tienes $8.000 en el bolsillo y los chocolates cuestan $1.000 cada uno. La pregunta no es "¿cuánto vale un chocolate?" — eso sería una ecuación. La pregunta es: "¿cuántos chocolates puedo comprar sin quedarme sin plata?"
Eso es una inecuación: no buscas un número exacto, sino todos los números que cumplen una condición de límite.
- Ecuación: "necesito exactamente $8.000" → una sola respuesta (x = 8)
- Inecuación: "no puedo gastar más de $8.000" → muchas respuestas (puedo comprar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 u 8 chocolates)
¿Qué nos resuelve?
Una inecuación responde preguntas del tipo:
- ¿Cuántas personas caben como máximo en un ascensor de 400 kg?
- ¿Cuántas horas como mínimo debo estudiar para aprobar?
- ¿Qué tallas de ropa son aptas para alguien que mide entre 1.60 y 1.75 m?
- ¿A partir de qué nota promedio quedo con distinción?
Ecuación x + 3 = 8: solo x = 5 funciona.
Inecuación x + 3 < 8: funcionan x = 4, x = 2, x = 0, x = −10... son infinitos valores.
Conceptos clave antes de resolver
Los cuatro signos — y lo que significa cada uno en la vida real
| Signo | Qué significa | Ejemplo de la vida |
|---|---|---|
| < | menor que (el límite no cuenta) | "Debes tener menos de 18 años" — los 18 no califican |
| > | mayor que (el límite no cuenta) | "Debes vender más de $100.000" — los $100.000 exactos no alcanzan |
| ≤ | menor o igual (el límite sí cuenta) | "Velocidad máxima 80 km/h" — los 80 km/h están permitidos |
| ≥ | mayor o igual (el límite sí cuenta) | "Nota mínima para aprobar: 4.0" — el 4.0 sí aprueba |
La regla del negativo — por qué cambia el signo
Esta regla confunde a casi todos. Te explico con números concretos para que nunca más la olvides:
Partimos de algo obvio: 3 > 1 (tres es mayor que uno). Eso nadie lo discute.
Ahora multiplica ambos lados por −1:
3 · (−1) = −3
1 · (−1) = −1
¿Sigue siendo −3 > −1? No. En la recta numérica, −3 está más a la izquierda que −1.
La verdad es −3 < −1 — el signo se dio vuelta.
Por eso, cuando multiplicas o divides una inecuación por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.
Regla: al multiplicar o dividir por negativo → < se vuelve >, y ≤ se vuelve ≥ (y viceversa).
¿Cómo resolver?
El método — igual que una ecuación, pero cuidando el signo
- Mueve todos los términos con x a un lado y los números al otro (mismo que en ecuaciones).
- Simplifica hasta que quede "x algo número".
- Si en algún paso divides o multiplicas por negativo, invierte el signo (< pasa a >, ≤ pasa a ≥).
- Verifica con un número de prueba para confirmar que tu respuesta tiene sentido.
Ejemplo con problema real — paso a paso desde cero
Situación: Juana va al mercado. Las peras cuestan $400 cada una y las manzanas $600 cada una. Quiere comprar exactamente 2 manzanas y algunas peras, pero no puede gastar más de $3.000 en total. ¿Cuántas peras puede comprar como máximo?
Paso 1: pon en lenguaje matemático lo que dice el problema.
Las 2 manzanas cuestan: 2 × 600 = $1.200
Las peras cuestan: 400 × x (siendo x la cantidad de peras)
Total: 1.200 + 400x — y eso no puede superar $3.000
Inecuación: 1.200 + 400x ≤ 3.000
Paso 2: despeja x igual que en una ecuación.
Resto 1.200 en ambos lados → 400x ≤ 1.800
Divido por 400 (positivo, el signo no cambia) → x ≤ 4,5
Paso 3: interpreta la respuesta en el contexto real.
x ≤ 4,5 — pero Juana no puede comprar media pera.
El número entero más grande que cumple la condición es 4.
Respuesta: Juana puede comprar como máximo 4 peras.
Verificación: 2 manzanas + 4 peras = $1.200 + $1.600 = $2.800 ≤ $3.000 ✓
Si comprara 5 peras: $1.200 + $2.000 = $3.200 — se pasa del presupuesto.
Resumen del método:
1. Mueve x a un lado, números al otro.
2. Simplifica hasta «x algo número».
3. Si divides o multiplicas por negativo, invierte el signo (< pasa a >, ≤ pasa a ≥).
4. Verifica con un número de prueba.
Caso 1 — Suma o resta (el signo no cambia nunca)
Situación: tienes chocolates en una caja. Si agregas 4 más, el total es menos que 10.
Inecuación: x + 4 < 10
Resolución: resto 4 a ambos lados → x < 6
Respuesta: la caja tenía menos de 6 chocolates (0, 1, 2, 3, 4 o 5).
Caso 2 — Multiplicar o dividir por positivo (el signo no cambia)
Situación: cada bandeja tiene 3 manzanas. En total hay más de 12 manzanas.
Inecuación: 3x > 12
Resolución: divido por 3 (positivo → signo igual) → x > 4
Respuesta: hay más de 4 bandejas.
Caso 3 — Dividir por negativo (el signo cambia)
Inecuación: −2x < 10
Resolución: divido por −2 (negativo → cambio el signo) → x > −5
Verificación: pruebo x = 0 → −2·0 = 0 < 10 ✓. Pruebo x = −10 → −2·(−10) = 20, y 20 < 10 ✗. Funciona.
Caso 4 — Con paréntesis y dos pasos
Inecuación: 3(x − 2) ≤ 12
Paso 1: distribuyo → 3x − 6 ≤ 12
Paso 2: sumo 6 → 3x ≤ 18
Paso 3: divido por 3 (positivo) → x ≤ 6
Verificación: pruebo x = 6 → 3(6−2) = 12 ≤ 12 ✓. Pruebo x = 7 → 3(7−2) = 15, y 15 ≤ 12 ✗. Correcto.
Cómo leer la solución: recta numérica e intervalos
Recta numérica
- Círculo abierto ○ en el número del borde → ese número NO está incluido (signos < o >).
- Círculo cerrado ● en el número del borde → ese número SÍ está incluido (signos ≤ o ≥).
- Sombrea hacia la izquierda si x es menor; hacia la derecha si x es mayor.
Palabras del enunciado → signo correcto
| Si el enunciado dice... | Usa el signo |
|---|---|
| "como máximo", "no más de", "a lo sumo" | ≤ |
| "como mínimo", "al menos", "no menos de" | ≥ |
| "menos de", "estrictamente menor que" | < |
| "más de", "estrictamente mayor que" | > |
Caminos más fáciles para resolver
- Resuelve primero como si fuera una ecuación. Solo cambia = por el signo de desigualdad — el proceso es idéntico. Al final, revisa si en algún paso dividiste por negativo.
- Antes de dividir, mira el signo del coeficiente de x. Si es negativo, prepárate para invertir.
- Verifica con un número de prueba. Si encontraste x > 3, prueba x = 5 en la inecuación original — debe cumplirse. Prueba x = 1 — no debe cumplirse.
- Si la respuesta es decimal pero x debe ser entero (chocolates, personas, cuadernos): trunca hacia el lado que cumple la restricción. Si x ≤ 6,66 → como máximo 6; si x ≥ 2,3 → como mínimo 3.
💡 ¿Sabías que? La trampa más frecuente en la PAES es olvidar invertir el signo al dividir por negativo. Un truco infalible: antes de dividir, pasa el término con x al lado donde quede positivo — así nunca divides por negativo y el signo no cambia.
Errores que hay que evitar
- Olvidar invertir el signo al dividir por negativo: −2x < 10 da x > −5, NO x < −5.
- Responder con un solo número: la solución de x < 6 no es "x = 5". Son infinitos valores: 4, 3, 2, 0, −100...
- Sombrear al lado equivocado: x > 4 se sombrea a la derecha (valores mayores que 4).
- Confundir ○ y ●: "menos de 18 años" → ○ en 18 (el 18 no califica). "Al menos 18" → ● en 18 (el 18 sí califica).
Resumen rápido
- Inecuación = condición de límite → la solución es un rango (infinitos valores posibles).
- Despeja x igual que en ecuaciones; si divides por negativo, invierte el signo.
- Recta: ○ sin incluir el borde, ● incluyendo el borde; sombrea según si x es "menor" o "mayor".
- "Como máximo" → ≤ · "Al menos" → ≥ · "Menos de" → < · "Más de" → >.
- Verifica siempre con un número de prueba.
La imagen muestra los dos casos que debes dominar:
Izquierda — suma/resta: x + 3 > 7 se resuelve restando 3 a ambos lados → x > 4. El signo > no cambia porque no se multiplicó ni dividió por ningún número.
Derecha — división por negativo: −2x < 6 se divide por −2. Como el divisor es negativo, el signo se invierte → x > −3. En la recta numérica, el círculo abierto indica que −3 no está incluido.
Regla de oro: suma y resta nunca cambian el signo. Solo lo cambia multiplicar o dividir por un número negativo.
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