Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado. Es la primera vez en la matemática escolar que una ecuación puede tener dos respuestas correctas al mismo tiempo, y eso la hace especialmente interesante.

Su forma estándar es ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Cuando a = 0, el término con x² desaparece y la ecuación deja de ser cuadrática.

Forma estándar: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0

¿Para qué sirve esto?

Imagina que sabes el área de un rectángulo, pero no conoces sus lados. O que sabes cuántas manzanas y peras hay en total multiplicadas, pero no cuántas hay de cada una. Esos problemas suelen llevar a una ecuación cuadrática.

En palabras simples: sirve para encontrar un número desconocido (llamado x) cuando en el problema aparece x multiplicado por sí mismo (x²).

Feria: si manzanas × peras = 48, puedes saber cuántas hay de cada fruta.
Geometría: si ancho × largo = área, puedes calcular las medidas.
Números: si dos números consecutivos se multiplican y dan 30, puedes encontrarlos.

¿Qué nos resuelve?

Te entrega los valores de x que hacen verdadera una igualdad con x². Esos valores se llaman soluciones o raíces.

Una ecuación cuadrática puede tener:

Dos soluciones (la más común en ejercicios).
Una solución repetida (cuando la parábola solo toca el eje x una vez).
Ninguna solución real (cuando la parábola no corta el eje x).

Piénsalo así: la gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola. Resolver la ecuación es buscar dónde esa curva corta al eje horizontal (eje x).

Conceptos clave antes de resolver

La forma que siempre debes reconocer

Toda ecuación cuadrática se puede escribir así:

ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0

¿Qué significa cada letra?

a es el número que multiplica a x².
b es el número que multiplica a x (solo x, sin exponente).
c es el número suelto, sin x.

Ejemplo: en 2x² − 3x − 5 = 0

a = 2 (porque 2x²)
b = −3 (porque −3x; el signo menos cuenta)
c = −5 (el término suelto al final)

Regla de oro: antes de resolver, ordena la ecuación igualándola a 0 y ubica a, b y c con cuidado en los signos.

El discriminante: tu detector de soluciones

El discriminante (se escribe Δ) te dice cuántas soluciones reales hay sin tener que resolver toda la ecuación.

Δ = b² − 4ac

Lee el resultado así:

Si Δ > 0 → hay dos soluciones distintas.
Si Δ = 0 → hay una solución doble (se repite).
Si Δ < 0 → no hay soluciones reales.

Ejemplo rápido: en x² + 4x + 7 = 0, con a = 1, b = 4, c = 7:

Δ = 4² − 4 · 1 · 7 = 16 − 28 = −12
Δ < 0 → no tiene soluciones reales

Tres casos del discriminante: dos soluciones, una doble y ninguna solución real — Izquierda: la parábola corta el eje x en dos puntos (Δ > 0). Centro: lo toca una vez (Δ = 0). Derecha: no lo toca (Δ < 0).

¿Cómo resolver?

No existe un solo botón mágico. Tienes tres caminos y eliges según cómo se ve la ecuación:

Método	¿Cuándo usarlo?	Idea en una frase
1. Factorización	Cuando puedes reescribir la ecuación como un producto de factores.	Si algo multiplicado da 0, uno de los factores debe ser 0.
2. Fórmula general	Cuando factorizar es difícil o no lo ves de inmediato.	Reemplazas a, b y c en una fórmula que siempre funciona.
3. Discriminante	Cuando solo te preguntan cuántas soluciones hay (no el valor exacto).	Calculas Δ y lees si hay 2, 1 o 0 soluciones reales.

Método 1: factorización (el más rápido si lo reconoces)

Método 1 factorización: ejemplo x²−5x+6=0, buscar −2 y −3, soluciones x=2 y x=3

¿Qué haces? Transformas la ecuación en una multiplicación de dos paréntesis.

¿Por qué funciona? Si (algo) × (algo) = 0, entonces uno de esos «algo» debe ser cero.

Ejemplo guiado: resuelve x² − 5x + 6 = 0

Paso 1 — Busca dos números que:

multiplicados den 6 (el c, aquí c = 6), y
sumados den −5 (el b, que aquí es −5).

Paso 2 — Esos números son −2 y −3, porque (−2) × (−3) = 6 y (−2) + (−3) = −5.

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0

Paso 3 — Cada factor igualado a cero:

x − 2 = 0 → x = 2
x − 3 = 0 → x = 3

Respuesta: x = 2 o x = 3. Puedes comprobar reemplazando en la ecuación original.

Otras formas de factorizar que verás seguido:

Factor común: 3x² − 12x = 0 → sacas 3x → 3x(x − 4) = 0.
Diferencia de cuadrados: x² − 9 = 0 → (x − 3)(x + 3) = 0.

Método 2: fórmula general (tu red de seguridad)

¿Qué haces? Identificas a, b y c, y los reemplazas en esta fórmula:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

¿Cuándo la uso? Cuando miras la ecuación y no ves cómo factorizarla en pocos segundos. No falla: siempre entrega las soluciones reales (si existen).

Ejemplo guiado: x² − 4x − 5 = 0 → a = 1, b = −4, c = −5.

Paso 1 — Calcula el discriminante: (−4)² − 4(1)(−5) = 16 + 20 = 36.

Paso 2 — Saca la raíz: √36 = 6.

Paso 3 — Aplica la fórmula: x = (4 ± 6) / 2.

Con el signo + : x = (4 + 6) / 2 = 5
Con el signo − : x = (4 − 6) / 2 = −1

Método 2: fórmula general aplicada a x²−4x−5=0, paso a paso hasta x=5 y x=−1 — Fórmula general aplicada a x²−4x−5=0: discriminante 36, raíz 6, soluciones x=5 y x=−1.

Problema de la vida real: manzanas y peras

«En la feria, el número de manzanas multiplicado por el número de peras da 48. Además, hay 2 peras más que manzanas. ¿Cuántas hay de cada fruta?»

Ilustración: 6 manzanas y 8 peras, producto 48, dos peras más que manzanas — 6 manzanas y 8 peras: su producto es 48 y hay 2 peras más que manzanas. La solución negativa (−8) se descarta porque no tiene sentido en el contexto.

Paso 1 — Define la incógnita. Sea x el número de manzanas. Las peras son x + 2.

Paso 2 — Traduce a ecuación. Manzanas × peras = 48:

x · (x + 2) = 48

Paso 3 — Ordena a 0.

x² + 2x − 48 = 0

Paso 4 — Factoriza. (x + 8)(x − 6) = 0 → x = −8 o x = 6.

Paso 5 — Elige la que tiene sentido. No puede haber −8 manzanas → x = 6. Las peras son 8.

Respuesta: 6 manzanas y 8 peras.
Comprobación: 6 × 8 = 48 y 8 − 6 = 2. ✓

Caminos más fáciles para resolver

Cuando te enfrentes a una ecuación cuadrática, sigue este orden mental:

1. ¿Está igualada a 0? Si no, mueve términos hasta dejar todo de un lado y 0 del otro.
2. ¿Hay factor común? Si todos los términos comparten algo (como 3x), sácalo primero.
3. ¿Se parece a x² − k = 0? Prueba diferencia de cuadrados.
4. ¿Los números son pequeños? Intenta factorizar buscando dos números que multipliquen c y sumen b.
5. ¿Solo preguntan cuántas soluciones? Calcula Δ y listo, sin resolver.
6. ¿Nada de lo anterior funcionó? Usa la fórmula general.
7. ¿Es un problema con contexto? Descarta soluciones negativas si x es una cantidad, un precio o una medida.

💡 ¿Sabías que? Cuando la pregunta solo pide saber cuántas soluciones tiene la ecuación — no cuáles son — basta calcular el discriminante Δ = b² − 4ac. No necesitas resolver toda la ecuación. Ese es uno de los patrones más frecuentes: identificar el signo de Δ sin llegar al valor exacto de x.

Ejercicio resuelto: del enunciado a la solución

Uno de los errores más comunes en la PAES no es resolver mal la ecuación, sino no saber cómo plantearla. El siguiente ejercicio muestra el proceso completo: desde leer el enunciado hasta interpretar el resultado.

Enunciado: El largo de un terreno rectangular supera al ancho en 4 metros. Si el área del terreno es 96 m², ¿cuánto mide el ancho?

Paso 1 — Nombrar la incógnita. El enunciado tiene dos medidas relacionadas. Siempre elige la menor o la más simple como x.

Sea x = ancho (en metros)
El largo supera al ancho en 4 → largo = x + 4

Paso 2 — Plantear la ecuación usando la condición del problema. El área de un rectángulo es largo × ancho.

x · (x + 4) = 96

Paso 3 — Ordenar en forma cuadrática. Desarrollar el producto y pasar todo al mismo lado.

x² + 4x = 96
x² + 4x − 96 = 0

Paso 4 — Elegir el método. El coeficiente de x² es 1, entonces intentamos factorizar. Busco dos números que multipliquen −96 y sumen 4.

12 × (−8) = −96 ✓
12 + (−8) = 4 ✓
→ x² + 4x − 96 = (x + 12)(x − 8) = 0

Paso 5 — Resolver y obtener las soluciones algebraicas.

x + 12 = 0 → x = −12
x − 8 = 0 → x = 8

Paso 6 — Interpretar según el contexto. El ancho es una medida, no puede ser negativa. Se descarta x = −12.

Ancho = 8 m | Largo = 8 + 4 = 12 m
Verificación: 8 × 12 = 96 m² ✓

En la PAES, este tipo de problema casi siempre da dos soluciones algebraicas — una positiva y una negativa. La negativa se descarta por contexto. La respuesta correcta es ancho = 8 m.

Errores que hay que evitar

Resolver sin igualar a 0: en x² + 3x = 18 no puedes factorizar todavía; primero resta 18 → x² + 3x − 18 = 0.
Confundir el signo de b: en −3x, b es −3, no 3. El signo va con el número.
Creer que siempre hay dos respuestas: si Δ < 0, no hay solución real. Eso también es una respuesta válida.
Dividir por x y perder una solución: en 3x² − 12x = 0, si divides por x pierdes x = 0. Mejor factoriza: 3x(x − 4) = 0.
Olvidar comprobar: reemplaza tus respuestas en la ecuación original; si no da 0, algo falló.

Resumen rápido

Ecuación cuadrática = tiene x², forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0.
Tres métodos: factorizar (rápido), fórmula general (siempre sirve), discriminante (para contar soluciones).
Δ > 0 → dos soluciones · Δ = 0 → una doble · Δ < 0 → ninguna real.
En problemas reales: define x, plantea la ecuación, resuelve y elige la solución que tenga sentido.

Guía visual Ecuaciones Cuadráticas: definición, métodos de resolución, discriminante y propiedades de raíces — Mapa visual completo: forma estándar, los tres métodos de resolución y los tres casos del discriminante.

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