¿Qué son las funciones lineales?
Una función lineal es una regla matemática que relaciona dos cantidades con una tasa de cambio constante. Se escribe así:
f(x) = mx + n
El nombre "lineal" viene de que su gráfica siempre es una línea recta: no curva, no quebrada, siempre recta. Eso sucede porque cada vez que x aumenta 1 unidad, f(x) cambia siempre la misma cantidad (m). Son la forma más simple de modelar relaciones con cambio constante: tarifa fija más monto por uso, distancia a velocidad constante, cualquier cosa que crezca o disminuya de forma pareja.
¿Para qué sirve esto?
La función lineal aparece cada vez que hay un cambio constante: una tarifa que sube igual por cada unidad, un costo fijo más un monto variable, una velocidad que no cambia.
- Calcular el costo total de un servicio con precio fijo y precio por uso.
- Modelar distancias recorridas a velocidad constante.
- Interpretar gráficos de rectas en contextos reales.
- Predecir valores futuros cuando el cambio es siempre el mismo.
Ejemplo: un taxi cobra $700 de bajada de bandera y $300 por cada kilómetro recorrido. Si x representa los kilómetros recorridos:
f(x) = 300x + 700
m = 300: cada kilómetro aumenta el precio en $300.
n = 700: costo inicial antes de avanzar kilómetros.
¿Qué nos resuelve?
- Calcular el valor de la función para cualquier x.
- Graficar una recta en el plano cartesiano.
- Identificar la pendiente y el coeficiente de posición desde una ecuación, tabla o gráfico.
- Construir la ecuación de una recta desde una situación real.
- Determinar si una tabla de valores corresponde a una función lineal.
Conceptos clave antes de resolver
¿Qué significa f(x)?
La expresión f(x) se lee "f de x" y representa el valor que entrega la función cuando usamos un cierto valor de x.
x: valor de entrada.
f(x): valor de salida.
Por ejemplo, si una función es f(x) = 2x + 3, entonces para x = 4:
f(4) = 2 · 4 + 3 = 8 + 3 = 11
Partes de una función lineal
| Elemento | Nombre | Qué indica |
|---|---|---|
| m | Pendiente | Indica cuánto cambia f(x) cuando x aumenta en 1. |
| n | Coeficiente de posición | Indica dónde la recta corta al eje vertical. |
La pendiente m
La pendiente indica la inclinación de la recta y cuánto aumenta o disminuye la función por cada unidad que aumenta x.
Si m es positiva: la recta sube.
Si m es negativa: la recta baja.
Si m = 0: la recta es horizontal.
El coeficiente de posición n
El número n indica el valor inicial de la función, es decir, cuánto vale f(x) cuando x = 0. Marca dónde la recta corta el eje vertical.
f(x) = 2x + 5 → f(0) = 2 · 0 + 5 = 5. La recta corta el eje vertical en 5.
Una clave para recordarlo: siempre que x = 0, el resultado de la función es exactamente n. Además, n desplaza la recta hacia arriba (si n > 0) o hacia abajo (si n < 0) sin cambiar su inclinación.
Función lineal y función afín
En matemática se distinguen dos tipos de funciones cuya gráfica es una recta:
Función lineal: f(x) = mx, con n = 0. Siempre pasa por el origen (0, 0).
Función afín: f(x) = mx + n, con n ≠ 0. La recta está desplazada — no pasa por el origen.
En la práctica: si el enunciado menciona un "costo fijo", "valor inicial" o "punto de partida" distinto de cero, la función es afín. Si todo parte desde cero, es lineal.
¿Cómo resolver?
Evaluar la función para un valor de x
Sustituye el valor de x directamente en f(x) = mx + n y calcula.
f(x) = 3x + 2, para x = 4:
f(4) = 3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14
Graficar con tabla de valores
Construye una tabla eligiendo valores de x, calcula f(x) para cada uno y marca los puntos en el plano. Luego traza la recta.
| x | f(x) = 2x + 1 | Punto |
|---|---|---|
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 5 | (2, 5) |
Graficar usando m y n directamente
En vez de construir una tabla entera, puedes graficar directamente usando solo m y n:
- Ubica el punto (0, n). Ese es el punto donde la recta cruza el eje vertical. En f(x) = 2x + 1, n = 1, así que partes desde (0, 1).
- Aplica la pendiente m. Desde ese punto, avanza 1 unidad a la derecha y sube m unidades. Con m = 2 llegas a (1, 3).
- Traza la recta. Con esos dos puntos ya puedes dibujar la línea completa.
Solo necesitas dos puntos para trazar cualquier recta. n te da el primero gratis; m te da el segundo en un paso.
Modelar una situación real
Identifica en el enunciado: ¿hay un valor fijo? → eso es n. ¿Hay un valor que se repite por cada unidad? → eso es m.
Ejemplo con peras
En una feria cada kilo de peras cuesta $800 y se cobra una bolsa de $200.
f(x) = 800x + 200
m = 800: cada kilo extra aumenta el costo en $800.
n = 200: costo fijo de la bolsa.
| Kilos de peras x | Costo f(x) |
|---|---|
| 0 | $200 |
| 1 | $1.000 |
| 2 | $1.800 |
| 3 | $2.600 |
Ejemplo con manzanas sin costo fijo
Cada kilo de manzanas cuesta $1.200 y no hay costo fijo.
f(x) = 1.200x
m = 1.200 — n = 0
Si compras 0 kilos, pagas $0. La recta pasa por el origen.
Reconocer una función lineal desde una tabla
Una tabla es lineal si f(x) cambia siempre en la misma cantidad cuando x sube 1.
| x | f(x) | Cambio |
|---|---|---|
| 0 | 5 | — |
| 1 | 8 | +3 |
| 2 | 11 | +3 |
| 3 | 14 | +3 |
Cambio constante de +3 → m = 3. Valor en x = 0 → n = 5. Por lo tanto:
f(x) = 3x + 5
💡 ¿Sabías que? En la PAES el error más frecuente es confundir m y n. Recuerda: m es el "multiplicador" de x (cambia con x), y n es el número "suelto" que no depende de x.
Caminos más fáciles para resolver
- Si n = 0, la recta pasa por el origen: el punto (0, 0) siempre está en la recta, no necesitas calcular nada extra.
- Para encontrar m desde dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂): m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Resta los y y divide por la resta de los x.
- Para leer m desde una tabla: fíjate cuánto cambia f(x) cada vez que x sube 1. Ese número es la pendiente.
- Para leer n desde una tabla: busca el valor de f(x) cuando x = 0.
- Para verificar si un punto está en la recta: sustituye x en f(x) = mx + n y comprueba si el resultado coincide con el y del punto.
- Para detectar una función lineal en un enunciado: busca un costo fijo más un monto que se repite, una velocidad constante o cualquier cosa que cambie siempre lo mismo.
Errores que hay que evitar
- Confundir m con n al identificar pendiente y coeficiente de posición.
- Pensar que n es siempre 0 — solo es 0 en la función lineal estricta.
- Olvidar que la pendiente puede ser negativa (recta que baja).
- Graficar solo un punto: para una recta necesitas al menos dos puntos.
- No interpretar qué significan m y n en un problema real (por ejemplo, calcular f(0) sin pensar que n ya es ese valor).
Resumen rápido
- f(x) = mx + n — fórmula de la función lineal (y afín).
- m: pendiente — cuánto cambia la función por cada unidad de x.
- n: coeficiente de posición — valor de f(x) cuando x = 0.
- Si m > 0: recta sube. Si m < 0: recta baja. Si m = 0: recta horizontal.
- Función lineal: n = 0, pasa por el origen. Función afín: n ≠ 0, desplazada verticalmente.
- Sirve para modelar cualquier situación con cambio constante: tarifas, velocidades, costos proporcionales.
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