Expresiones Algebraicas
Las expresiones algebraicas son una forma de escribir operaciones usando números y letras. Las letras representan cantidades desconocidas o variables que pueden cambiar.
El álgebra permite transformar problemas en lenguaje matemático. Por eso es una base muy importante para ecuaciones, funciones, fórmulas y problemas tipo PAES.
Por ejemplo, si una entrada de cine cuesta $x y se compran 3, el costo total es 3x. Si además hay un cargo de servicio de $500, la expresión completa es 3x + 500. Esa combinación de número, letra y constante es una expresión algebraica.
Expresión algebraica = números + letras + operaciones
1. Idea central
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones.
3x + 5
En esta expresión, la letra x representa un número que puede variar. Por eso se llama variable.
2. Partes de una expresión algebraica
| Parte | Ejemplo | Significado |
|---|---|---|
| Variable | x | Letra que representa un valor desconocido o cambiante. |
| Coeficiente | 3 en 3x | Número que multiplica a la variable. |
| Término | 3x, 5, -2a | Parte separada por signos + o -. |
| Constante | 5 | Número que no tiene variable. |
3. Ejemplo explicado
Observa la expresión:
4x + 7
- x es la variable.
- 4 es el coeficiente de x.
- 4x y 7 son términos.
- 7 es una constante.
Esta expresión puede representar una situación real. Por ejemplo: una entrada cuesta $4.000 y además se paga un cargo fijo de $7.000. Si x es la cantidad de entradas, entonces 4x + 7 representa el costo total en miles de pesos.
4. Términos semejantes
Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Es decir, tienen las mismas letras con los mismos exponentes.
3x y 5x son semejantes.
2a2 y -7a2 son semejantes.
4x y 4x2 no son semejantes.
Solo se pueden sumar o restar términos semejantes.
4.1 El ejemplo de las frutas
Imagina que tienes una bolsa con frutas mezcladas:
- 🍎 🍎 🍎 — tres manzanas
- 🍌 🍌 — dos plátanos
- 🍎 🍎 — dos manzanas más
¿Cuántas frutas tienes? Puedes sumar las manzanas entre sí y los plátanos entre sí, pero no puedes mezclarlos en un solo grupo "manzanátano".
3 🍎 + 2 🍌 + 2 🍎 = 5 🍎 + 2 🍌
En álgebra: 3x + 2y + 2x = 5x + 2y
Las x son las manzanas 🍎 y las y son los plátanos 🍌. Solo se suman los que son del mismo tipo.
Lo mismo ocurre si tienes manzanas normales 🍎 y manzanas al cuadrado 🍎² (que representarían x²): aunque vengan del mismo árbol, no se pueden sumar porque son cosas distintas.
5. Reducir términos semejantes
Reducir términos semejantes significa juntar los términos que tienen la misma parte literal.
Ejemplo:
3x + 5x = 8x
Solo se suman los coeficientes. La letra queda igual.
Otro ejemplo:
7a - 2a + 4 = 5a + 4
El 4 no se junta con los términos con a, porque es una constante.
6. Monomios, binomios y polinomios
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la cantidad de términos que tienen.
| Tipo | Cantidad de términos | Ejemplo |
|---|---|---|
| Monomio | 1 término | 5x |
| Binomio | 2 términos | x + 3 |
| Trinomio | 3 términos | x2 + 4x + 4 |
| Polinomio | Varios términos | 2x3 - x2 + 5x - 1 |
7. Suma y resta de expresiones algebraicas
Para sumar o restar expresiones algebraicas, se juntan los términos semejantes.
Ejemplo:
(3x + 5) + (2x - 1)
3x + 2x + 5 - 1
5x + 4
Cuando hay una resta antes de un paréntesis, hay que cambiar los signos de todos los términos que están dentro.
(4x + 3) - (x - 2)
4x + 3 - x + 2
3x + 5
8. Multiplicación de expresiones algebraicas
Al multiplicar dos expresiones algebraicas cada término del primer factor debe multiplicar a todos los términos del segundo. El número de productos parciales siempre es igual a la cantidad de términos de un factor multiplicada por la del otro: un monomio por un binomio genera 2 productos; un binomio por un binomio genera 4.
Para multiplicar expresiones algebraicas, se usa la propiedad distributiva.
a(b + c) = ab + ac
Ejemplo:
3(x + 4)
3 · x + 3 · 4
3x + 12
También se puede multiplicar binomio por binomio distribuyendo cada término.
(x + 2)(x + 3)
x·x + x·3 + 2·x + 2·3
x2 + 3x + 2x + 6
x2 + 5x + 6
9. Evaluar una expresión algebraica
Evaluar una expresión significa reemplazar la variable por un número.
Ejemplo: evalúa 2x + 5 cuando x = 3.
2x + 5
2 · 3 + 5
6 + 5 = 11
Entonces, cuando x = 3, la expresión vale 11.
10. Traducción del lenguaje común al álgebra
Una habilidad clave en PAES es transformar frases en expresiones algebraicas.
| Frase | Expresión algebraica |
|---|---|
| El doble de un número | 2x |
| Un número aumentado en 5 | x + 5 |
| El triple de un número disminuido en 2 | 3x - 2 |
| La mitad de un número | x/2 |
9.1 Productos notables
Los productos notables son multiplicaciones de binomios tan frecuentes que conviene memorizar su resultado directo, sin desarrollar paso a paso.
Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b²
Producto de suma por diferencia: (a + b)(a − b) = a² − b²
Ejemplo 1 — cuadrado de una suma:
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9
Ejemplo 2 — producto de suma por diferencia:
(x + 5)(x − 5) = x² − 25
10. Factorización
Factorizar es el proceso inverso a desarrollar: consiste en escribir una expresión algebraica como un producto de factores más simples.
Desarrollar: (x + 3)(x − 2) → x² + x − 6
Factorizar: x² + x − 6 → (x + 3)(x − 2)
Factorizar es útil para simplificar expresiones, resolver ecuaciones cuadráticas y cancelar factores comunes en fracciones algebraicas.
10.1 Factor común
Se saca el factor que está presente en todos los términos.
6x + 4 = 2(3x + 2) → el factor común es 2
x² + 3x = x(x + 3) → el factor común es x
10.2 Diferencia de cuadrados
Se aplica cuando la expresión tiene la forma a² − b².
a² − b² = (a + b)(a − b)
Ejemplo: factorizar x² − 9
Paso 1: Identificar si es diferencia de cuadrados.
x² = (x)² ✓ y 9 = (3)² ✓ → sí lo es.
Paso 2: Aplicar la fórmula con a = x, b = 3.
a² − b² = (a + b)(a − b)
Resultado: x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
10.3 Trinomio cuadrado perfecto
Se aplica cuando la expresión tiene la forma a² ± 2ab + b².
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
Ejemplo: factorizar x² + 6x + 9
Paso 1: Verificar el primer y último término.
x² = (x)² → a = x
9 = (3)² → b = 3
Paso 2: Confirmar el término central.
2ab = 2 · x · 3 = 6x ✓
Paso 3: Aplicar la fórmula a² + 2ab + b² = (a + b)²
Resultado: x² + 6x + 9 = (x + 3)²
10.4 Trinomio de la forma x² + bx + c
Se buscan dos números p y q tales que p · q = c y p + q = b.
x² + bx + c = (x + p)(x + q)
Ejemplo: factorizar x² + 5x + 6
Paso 1: Identificar b = 5 y c = 6.
Buscar p y q con p · q = 6 y p + q = 5.
Paso 2: Probar pares de factores de 6:
1 · 6 = 6, pero 1 + 6 = 7 ✗
2 · 3 = 6, y 2 + 3 = 5 ✓
Paso 3: Sustituir p = 2, q = 3.
Resultado: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
11. Errores frecuentes
- Sumar términos que no son semejantes, como x + x2.
- Olvidar cambiar signos cuando hay una resta antes de un paréntesis.
- Confundir coeficiente con exponente.
- No distribuir a todos los términos dentro de un paréntesis.
- Reemplazar mal la variable al evaluar una expresión.
12. Resumen rápido
Variable: letra que representa un valor.
Coeficiente: número que multiplica a la variable.
Términos semejantes: tienen la misma parte literal.
Monomio: una sola expresión de un término.
Binomio: expresión con dos términos.
Polinomio: expresión con varios términos.
Reducir: juntar términos semejantes.
Evaluar: reemplazar la variable por un número.
Productos notables: (a+b)² = a²+2ab+b²; (a+b)(a−b) = a²−b².
Factorizar: escribir como producto — factor común, diferencia de cuadrados, trinomio.
En la PAES, lo más importante es reconocer las partes de una expresión, reducir términos semejantes, aplicar distributiva correctamente y traducir frases simples al lenguaje algebraico.
Si puedes leer una expresión como "3x² − 2x + 5" e identificar cada parte, ya tienes la base para ecuaciones, funciones y factorización.
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