¿Qué son las funciones cuadráticas?
Una función cuadrática es una función cuya variable independiente aparece elevada al cuadrado. Su forma general es:
f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0
Lo que la hace especial es que su gráfica no es una recta, sino una curva en forma de U llamada parábola. Puede abrirse hacia arriba o hacia abajo según el valor de a.
Piensa en una pelota lanzada al aire: primero sube, llega a un punto más alto y luego baja. Esa trayectoria curva es exactamente una parábola. Eso es una función cuadrática en la vida real.
¿Para qué sirve?
La función cuadrática aparece cada vez que algo sube y baja, o baja y sube, siguiendo una curva. No es como la función lineal, donde todo cambia a la misma velocidad.
- Altura de un proyectil: la trayectoria de una pelota, una flecha o un cohete sigue una parábola.
- Máximo o mínimo de algo: cuándo una empresa gana más dinero, cuál es el área máxima que se puede cercar, cuándo una pelota está más alta.
- Diseño y arquitectura: los arcos de puentes y las antenas parabólicas tienen forma de parábola.
- Economía: el punto donde la ganancia es máxima según el precio de venta.
¿Qué tipos de problemas resuelve?
- Encontrar el punto más alto o más bajo de una situación (el vértice).
- Determinar en qué momentos algo es igual a cero (los cortes con el eje x).
- Saber si una parábola toca o no toca el eje x, sin graficar (con el discriminante).
- Graficar una curva identificando sus puntos clave.
Conceptos clave
En la función f(x) = ax2 + bx + c, los tres números tienen roles distintos:
| Coef. | Qué controla | Ejemplo rápido |
|---|---|---|
a |
La dirección y abertura de la parábola. Si a > 0 abre hacia arriba; si a < 0 abre hacia abajo. | a = 2 → arriba, más cerrada. a = −1 → hacia abajo. |
b |
La posición horizontal del vértice junto con a. | b = −4, a = 1 → vértice en x = 2. |
c |
El punto donde la parábola cruza el eje y (cuando x = 0). | c = 3 → la parábola pasa por (0, 3). |
Si a > 0: la parábola abre hacia arriba, como un tazón en U.
Si a < 0: la parábola abre hacia abajo, como la trayectoria de una pelota.
El vértice — el punto más importante
El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. Es el punto más alto si abre hacia abajo (máximo), o el punto más bajo si abre hacia arriba (mínimo). Para encontrarlo:
Paso 1 — x del vértice: xv = −b / 2a
Paso 2 — y del vértice: yv = f(xv)
Ejemplo: f(x) = x2 − 4x + 3 → a = 1, b = −4, c = 3
xv = −(−4) / (2·1) = 4/2 = 2
f(2) = 4 − 8 + 3 = −1
V = (2, −1)
Eje de simetría
El eje de simetría es la línea vertical imaginaria que divide la parábola en dos mitades exactamente iguales. Siempre pasa por el vértice:
Eje de simetría: x = xv
En el ejemplo anterior, el vértice es V = (2, −1), por lo que el eje de simetría es x = 2. Esto significa que si la parábola cruza el eje x en x = 1, el otro corte estará en x = 3 (simétricamente opuesto respecto al eje x = 2).
Cortes con los ejes
Corte con el eje y — ocurre cuando x = 0. En f(x) = ax2 + bx + c, siempre es el punto (0, c). No hay que calcular nada: c ya es la respuesta.
Corte con eje y: (0, c)
Cortes con el eje x (ceros de la función) — ocurren cuando f(x) = 0. Se encuentran resolviendo ax2 + bx + c = 0.
Ejemplo con f(x) = x2 − 4x + 3:
x2 − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 y x = 3 → cortes en (1, 0) y (3, 0)
El discriminante — ¿cuántos cortes tiene con el eje x?
A veces queremos saber si la parábola cruza el eje x sin tener que resolver la ecuación completa. Para eso existe el discriminante:
Δ = b2 − 4ac
| Resultado | Qué significa |
|---|---|
| Δ > 0 | Dos cortes distintos con el eje x. |
| Δ = 0 | Un solo corte (vértice toca el eje x). |
| Δ < 0 | Sin corte — no hay soluciones reales. |
¿Cómo resolver paso a paso?
Para analizar cualquier función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + c, sigue este orden:
1. Identifica a, b y c.
2. Mira el signo de a → ¿abre hacia arriba o hacia abajo?
3. Calcula el vértice: xv = −b/2a, luego f(xv).
4. Anota el eje de simetría: x = xv.
5. El corte con el eje y es directo: punto (0, c).
6. Calcula Δ = b2 − 4ac para saber cuántos cortes con el eje x hay; luego resuelve f(x) = 0.
Ejemplo completo — f(x) = x2 − 4x + 3:
| Elemento | Resultado |
|---|---|
| a = 1, b = −4, c = 3 / Dirección | a > 0 → abre hacia arriba |
| Vértice | V = (2, −1) |
| Eje de simetría | x = 2 |
| Corte con eje y | (0, 3) |
| Cortes con eje x | (1, 0) y (3, 0) |
💡 ¿Sabías que? El error más frecuente en PAES es olvidar el doble negativo al calcular el vértice. Si b = −4, entonces −b = +4, por lo que xv = 4/(2a). Muchos escriben −(−4) = −4 por inercia y obtienen xv negativo. Regla: cuando b es negativo, el x del vértice siempre resulta positivo (si a > 0).
Caminos más fáciles para resolver
- El corte con el eje y es c, siempre. No necesitas reemplazar x = 0 cada vez — lee c directo y ya tienes el punto (0, c).
- Calcula el discriminante antes de resolver. Si Δ < 0, la ecuación f(x) = 0 no tiene solución real — ahorra tiempo y no intentes factorizar.
- El vértice también da el eje de simetría gratis. Una vez que tienes xv, el eje de simetría es x = xv. No hace falta calcularlo por separado.
- La parábola es simétrica. Si sabes que cruza el eje x en x = 1 y el vértice está en x = 3, el segundo corte está en x = 5 (el espejo de 1 respecto a x = 3).
- Si la función viene en forma a(x − h)2 + k, el vértice se lee directo: V = (h, k). No necesitas calcular nada.
Errores que hay que evitar
- Confundir c con el vértice. c indica solo el corte con el eje y — el vértice requiere el cálculo −b/2a.
- Olvidar el signo de b al calcular xv. Si b = −4, entonces −b = +4. El doble negativo cambia el resultado.
- Pensar que toda parábola cruza el eje x. Si Δ < 0, no hay corte. La parábola queda completamente por encima o por debajo.
- En la forma canónica (x + h)2 + k, tomar h como positivo. Si la expresión es (x + 3), el vértice en x es −3, no +3.
- Creer que a = 0 es posible. Si a = 0, desaparece el x2 y deja de ser cuadrática.
Resumen rápido
- f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Gráfica: parábola.
- a > 0: abre hacia arriba (mínimo). a < 0: abre hacia abajo (máximo).
- Vértice: xv = −b/2a; yv = f(xv). Punto máximo o mínimo.
- Eje de simetría: x = xv.
- Corte con eje y: siempre (0, c).
- Discriminante Δ = b² − 4ac: >0 dos cortes, =0 uno, <0 ninguno.
- Forma canónica a(x − h)² + k: vértice V = (h, k) directo.
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