Potencias
Las potencias son una forma de escribir multiplicaciones repetidas de manera más corta. En vez de escribir 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, simplemente escribes 27. En la PAES M1 aparecen en simplificaciones, áreas, volúmenes y problemas de crecimiento.
1. ¿Qué es una potencia? Empecemos desde cero
Imagina que tienes que escribir: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Eso es tedioso y fácil de perder la cuenta. Las potencias resuelven ese problema: en vez de escribir todos esos "× 2", simplemente anotas cuántas veces se repite el número.
an = a · a · a · ... · a (la base a se repite n veces)
Importante: el exponente NO multiplica a la base. Indica cuántas veces se repite la base multiplicándose por sí misma.
Ejemplo paso a paso:
24 → la base 2 se repite 4 veces → 2 · 2 · 2 · 2 = 16
24 no es 2 × 4 = 8. Ese es el error más común.
La imagen muestra 24 = 16 con flechas que señalan la base (2) y el exponente (4). Abajo desarrolla la multiplicación 2 · 2 · 2 · 2.
A la derecha de la figura resume las propiedades que usarás en toda la lección: producto, cociente y potencia de potencia.
24 se lee "dos elevado a cuatro" — no "dos por cuatro".
2. Partes de una potencia
| Parte | Qué significa | Ejemplo en 35 |
|---|---|---|
| Base | El número que se repite multiplicándose. | La base es 3. |
| Exponente | Cuántas veces se repite la base. | El exponente es 5. |
| Resultado | La multiplicación desarrollada. | 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 |
El diagrama resume lo mismo que la tabla: en 35, la base es 3, el exponente indica cuántas veces se repite y el resultado es 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
Base → número que se repite
Exponente → cuántas veces se repite
Resultado → multiplicación desarrollada
💡 ¿Sabías que? La trampa más frecuente en PAES es confundir 34 con 3 × 4. La primera da 81 (multiplicar cuatro veces el 3); la segunda da 12. Siempre lee el exponente como "repetir la base", no como "multiplicar base por exponente".
3. Propiedades principales — con explicación de por qué funcionan
Estas propiedades permiten simplificar expresiones sin calcular todo. Pero primero entendamos por qué cada una funciona.
Producto de igual base → se suman los exponentes
23 · 24 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27
Son 3 doses más 4 doses = 7 doses en total. Por eso los exponentes se suman: 3 + 4 = 7.
Cociente de igual base → se restan los exponentes
25 / 23 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2) / (2 · 2 · 2) = 2 · 2 = 22
Los 3 doses del denominador cancelan 3 doses del numerador. Quedan 5 − 3 = 2 doses.
Potencia de potencia → se multiplican los exponentes
(23)2 = 23 · 23 = 23 + 3 = 26
Elevar a 2 significa repetir dos veces: 3 + 3 = 3 × 2 = 6.
Las otras dos propiedades siguen la misma lógica de distribuir el exponente:
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Potencia de producto | (a · b)n = an · bn | (2 · 5)3 = 23 · 53 = 1000 |
| Potencia de cociente | (a/b)n = an / bn | (3/4)2 = 9/16 |
Atención: estas propiedades solo funcionan cuando las bases son iguales. 23 · 34 no se puede simplificar porque las bases son distintas.
El diagrama muestra con factores repetidos por qué se suman, restan o multiplican exponentes:
- Multiplicación: am · an = am+n
- División: am / an = am−n
- Potencia de potencia: (am)n = am·n
Úsalo como apoyo visual después de leer los blockquotes de arriba — el texto explica el razonamiento paso a paso.
4. Los tres casos especiales que más aparecen en la PAES
Exponente cero: ¿por qué da 1?
Usando la propiedad del cociente: a3 / a3 = a3 − 3 = a0. Pero cualquier número dividido por sí mismo es 1. Entonces a0 = 1. No es magia: se deduce directo de las propiedades.
a0 = 1, siempre que a ≠ 0
90 = 1 · (−7)0 = 1 · (1/3)0 = 1
Exponente negativo: no es resultado negativo, es el inverso
Un exponente negativo indica que hay que pasar la expresión al denominador. El resultado puede ser positivo o fraccionario, pero nunca negativo por el solo hecho de tener el signo negativo en el exponente.
a−n = 1 / an
2−3 = 1 / 23 = 1/8 → no es −8, es una fracción positiva.
Exponente racional: conecta potencias con raíces
a1/2 = √a · a1/3 = 3√a · am/n = (n√a)m
Ejemplo: 642/3 = (3√64)2 = 42 = 16
Truco: calcular primero la raíz (3√64 = 4) y luego elevar al numerador (42 = 16). Al revés los números se hacen enormes.
5. Potencias con base negativa — cuidado con los paréntesis
Los paréntesis cambian completamente el resultado cuando la base es negativa. No es lo mismo −32 que (−3)2: en el primero el exponente solo afecta al 3; en el segundo, afecta a toda la base −3.
Regla rápida: base negativa con exponente par → positivo; exponente impar → negativo.
| Expresión | Cómo se lee | Resultado |
|---|---|---|
| −32 | Menos (tres al cuadrado). El exponente solo afecta al 3. | −(3 · 3) = −9 |
| (−3)2 | Menos tres, todo al cuadrado. El exponente afecta al −3. | (−3) · (−3) = 9 |
| (−3)3 | Exponente impar → resultado negativo. | (−3)(−3)(−3) = −27 |
5b. Potencias con base racional
La base de una potencia puede ser una fracción. En ese caso, el exponente afecta tanto al numerador como al denominador por separado.
Regla: (a/b)n = an / bn
El exponente "entra" a la fracción y se aplica por separado arriba y abajo.
Ejemplo 1 — exponente positivo:
(2/3)4 = 24 / 34 = 16/81
Ejemplo 2 — más simple:
(1/2)3 = 13 / 23 = 1/8
Ejemplo 3 — exponente negativo con base fraccionaria:
(2/3)−2 = (3/2)2 = 9/4
El exponente negativo invierte la fracción y luego aplica el exponente positivo.
Error frecuente: elevar solo el numerador y dejar el denominador sin cambio.
(2/3)4 ≠ 16/3 ✗ (2/3)4 = 16/81 ✓
6. Descomposición en factores primos
Descomponer significa escribir un número como producto de primos elevados a potencias. Sirve para simplificar raíces y comparar expresiones.
72 ÷ 2 = 36 · 36 ÷ 2 = 18 · 18 ÷ 2 = 9 · 9 ÷ 3 = 3 · 3 ÷ 3 = 1
72 = 23 · 32
7. Potencias en problemas de contexto
Las potencias modelan situaciones donde algo se multiplica varias veces por el mismo factor.
Ejemplo: una bacteria se duplica cada hora. Empezamos con 1. ¿Cuántas habrá después de 5 horas?
1 hora: 2 · 2 horas: 4 · 3 horas: 8 · 4 horas: 16 · 5 horas: 32
1 · 25 = 32 bacterias
| Situación | Modelo |
|---|---|
| Cantidad se duplica n veces | inicial · 2n |
| Área de cuadrado de lado a | a2 |
| Volumen de cubo de arista a | a3 |
7b. Atajos para resolver más rápido
Antes de aplicar cualquier propiedad de potencias, hay tres preguntas clave que te ahorran errores y tiempo.
Truco de la base igual (antes de usar propiedades)
Las propiedades de multiplicación y división de potencias solo funcionan cuando las bases son exactamente iguales. Antes de operar, pregúntate: ¿la base es la misma?
¿Bases iguales? → usa la propiedad.
23 · 25 = 28 ✓ (misma base)
¿Bases distintas? → no puedes juntar.
23 · 35 → no hay atajo, son factores distintos.
La misma lógica aplica para la división y la potencia de potencia: solo operan exponentes, nunca bases.
Truco del exponente negativo (gira y queda positivo)
Un exponente negativo no da resultado negativo — significa usar el inverso de la base. El truco: coloca la expresión en el denominador y el exponente queda positivo.
Número entero: 2−3 = 1/23 = 1/8 (no es −8)
Fracción: (3/5)−2 → da vuelta la fracción → (5/3)2 = 25/9
Regla visual: lo que está arriba baja, lo que está abajo sube, y el signo del exponente desaparece.
Truco del exponente racional (denominador = raíz)
Cuando el exponente es una fracción m/n, el denominador indica el índice de la raíz y el numerador indica la potencia que se aplica después. Siempre conviene resolver primero la raíz.
642/3
Paso 1 — Denominador 3 → raíz cúbica: 3√64 = 4.
Paso 2 — Numerador 2 → elevar al cuadrado: 42 = 16.
Resultado: 642/3 = 16
Caso especial: si el exponente es 1/n, es simplemente la raíz n-ésima.
125^(1/3) = 3√125 = 5
8. Errores frecuentes
- 34 ≠ 12. No es 3 × 4. Es 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
- Sumar exponentes con bases distintas. 23 · 34 no se puede simplificar: las bases son diferentes.
- Exponente negativo ≠ resultado negativo. 2−3 = 1/8, no −8.
- a0 ≠ 0. a0 = 1 (para a ≠ 0).
- No elevar el denominador. (2/3)2 = 4/9, no 4/3.
- a2 + a3 ≠ a5. Las propiedades de potencias aplican en multiplicaciones y divisiones, nunca en sumas.
9. Resumen rápido
an: la base a se repite n veces multiplicándose.
Producto de igual base: suma exponentes.
Cociente de igual base: resta exponentes.
Potencia de potencia: multiplica exponentes.
Exponente cero: resultado 1 (si a ≠ 0).
Exponente negativo: inverso, no negativo.
Exponente racional: se transforma en raíz.
Para resolver cualquier ejercicio de potencias: identifica la base, lee el exponente, decide qué propiedad aplica. Si las bases son distintas, no hay propiedad que simplifique: hay que calcular.
La infografía condensa definición, partes, propiedades, signos con paréntesis y casos especiales en una sola vista. Úsala como hoja de repaso antes de practicar.
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