1. Idea central
Los números racionales permiten representar cantidades que pueden escribirse como una fracción entre dos números enteros, con denominador distinto de cero. Son necesarios cuando una cantidad no siempre es entera, sino que puede representar una parte, una razón, una división, un porcentaje o un decimal.
En la PAES, los números racionales aparecen en problemas con fracciones, decimales, porcentajes, razones, repartos, comparaciones, descuentos, proporciones, medidas y contextos cotidianos donde las cantidades no son necesariamente enteras.
Idea clave: un número racional representa una cantidad que puede expresarse como una fracción a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0.
Por ejemplo, 3/4, -5/2, 0,25, -1,5 y 2 son números racionales, porque todos pueden escribirse como una fracción.
¿Cómo reconocerlos?
| Número | ¿Racional? | Por qué |
|---|---|---|
| 3/4 | Sí | Ya es fracción. |
| -2 | Sí | -2/1 |
| 0,75 | Sí | = 3/4 |
| 0,333... | Sí | = 1/3 |
| √2 | No | No es fracción exacta |
2. ¿Qué son?
Los números racionales son todos los números que se pueden escribir como el cociente entre dos números enteros, siempre que el denominador no sea cero.
Q = {a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0}
La letra Q viene de "cociente", porque todo número racional puede entenderse como una división entre dos enteros.
Dentro de los racionales encontramos:
- Fracciones positivas: 1/2, 3/4, 7/5.
- Fracciones negativas: -2/3, -5/4, -9/2.
- Números enteros: -3, 0, 5, porque pueden escribirse como fracción.
- Decimales finitos: 0,5; 1,25; -3,75.
- Decimales periódicos: 0,333...; 1,666...; -2,1212...
Todo número entero es racional, porque puede escribirse con denominador 1.
5 = 5/1 · -8 = -8/1 · 0 = 0/1
3. ¿Para qué sirven?
Los números racionales sirven para representar partes de una unidad, divisiones exactas o no exactas, razones entre cantidades y medidas que no son necesariamente enteras.
En la vida diaria aparecen cuando hablamos de media hora, tres cuartos de kilo, descuentos, porcentajes, promedios, medidas, recetas, dinero, velocidades o probabilidades.
En la PAES, sirven para resolver ejercicios donde se debe comparar fracciones, operar con decimales, transformar porcentajes, interpretar razones o trabajar con cantidades que representan partes de un todo.
1/2 hora = 30 minutos · 25% = 25/100 = 1/4 · 0,75 = 75/100 = 3/4
4. ¿Qué problemas resuelven?
Los números racionales permiten resolver problemas donde una cantidad puede estar dividida en partes, expresarse como proporción o compararse usando fracciones y decimales.
| Tipo de problema | Pregunta que responde | Concepto útil |
|---|---|---|
| Parte de un todo | ¿Qué parte se tomó, usó o completó? | Fracciones |
| Comparación de cantidades | ¿Cuál fracción o decimal es mayor? | Comparación racional |
| Operaciones con partes | ¿Cuánto resulta al sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones? | Operaciones con racionales |
| Porcentajes | ¿Qué parte representa un porcentaje? | Fracción, decimal y porcentaje |
| Razones y proporciones | ¿Cómo se relacionan dos cantidades? | Razón a/b |
La clave PAES es reconocer si el problema trabaja con cantidades completas o con partes. Si aparecen palabras como "mitad", "tercio", "porcentaje", "razón", "decimal", "proporción" o "parte de", probablemente estás trabajando con números racionales.
5. Conceptos clave
| Concepto | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Fracción | Representa una división o parte de un todo. | 3/5 significa 3 partes de 5. |
| Numerador | Indica cuántas partes se toman. | En 3/5, el numerador es 3. |
| Denominador | Indica en cuántas partes iguales se divide el todo. | En 3/5, el denominador es 5. |
| Decimal finito | Decimal que termina. | 0,25 = 1/4. |
| Decimal periódico | Decimal que repite cifras infinitamente. | 0,333... = 1/3. |
| Fracciones equivalentes | Fracciones distintas que representan el mismo valor. | 1/2 = 2/4 = 3/6. |
| Número mixto | Número formado por una parte entera y una fracción. | 2 1/3. |
6. ¿Cómo resolver ejercicios?
Para resolver ejercicios con números racionales, primero debes identificar cómo están representadas las cantidades: como fracciones, decimales, porcentajes o números mixtos. Luego conviene llevarlas a una misma forma antes de comparar u operar.
Paso 1: identifica si los números aparecen como fracción, decimal, porcentaje o mixto.
Paso 2: transforma si es necesario para trabajar con una sola forma.
Paso 3: decide si debes comparar, sumar, restar, multiplicar o dividir.
Paso 4: aplica la regla correspondiente.
Paso 5: simplifica el resultado si corresponde.
Paso 6: interpreta la respuesta según el contexto.
Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador.
2/7 + 3/7 = 5/7
Si los denominadores son distintos, se busca un denominador común.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Para multiplicar fracciones, se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.
2/3 · 4/5 = 8/15
Para dividir fracciones, se multiplica por el inverso de la segunda fracción.
2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6
Para comparar fracciones, puedes usar denominador común, multiplicación cruzada o transformar a decimal.
Comparar 3/4 y 5/8:
3/4 = 6/8
6/8 > 5/8
Entonces 3/4 > 5/8.
6b. Comparar y ordenar fracciones
Comparar fracciones es una de las habilidades más evaluadas en el eje Números de la PAES. Hay tres métodos, y conviene saber elegir el más rápido según la situación.
Método 1 — Igual denominador: compara los numeradores
5/9 y 2/9 tienen el mismo denominador. El que tiene más arriba es mayor: 5/9 > 2/9
Método 2 — Distinto denominador: denominador común o multiplicación cruzada
Opción A — buscar denominador común:
Comparar 3/4 y 5/8:
3/4 = 6/8 y 5/8 = 5/8
6/8 > 5/8 → 3/4 > 5/8
Opción B — multiplicación cruzada (más rápido):
Comparar 3/5 y 4/7:
3 × 7 = 21 | 4 × 5 = 20
21 > 20 → 3/5 > 4/7
(multiplicas en cruz: numerador izquierdo por denominador derecho, y viceversa)
Método 3 — Convertir a decimal
Comparar 2/3 y 3/5:
2/3 ≈ 0,667 | 3/5 = 0,6
0,667 > 0,6 → 2/3 > 3/5
Ordenar una lista de fracciones
Ejemplo: Ordena de menor a mayor: 1/2, 3/8, 5/6
Lleva todas al denominador 24:
1/2 = 12/24 | 3/8 = 9/24 | 5/6 = 20/24
Orden: 9/24 < 12/24 < 20/24 → 3/8 < 1/2 < 5/6
7. Camino más fácil para resolver
| Si el ejercicio muestra... | Conviene... | Ejemplo |
|---|---|---|
| Fracciones con igual denominador | Comparar numeradores directamente. | 5/9 > 2/9. |
| Fracciones con distinto denominador | Usar denominador común o multiplicación cruzada. | 3/5 y 4/7. |
| Decimales finitos | Comparar cifras decimales o transformar a fracción. | 0,75 = 3/4. |
| Porcentajes | Transformar a fracción o decimal. | 20% = 20/100 = 1/5. |
| Multiplicación de fracciones | Simplificar antes de multiplicar si se puede. | 3/4 · 8/9 puede simplificarse antes. |
Para sumar o restar fracciones: busca denominador común.
Para multiplicar fracciones: multiplica directo y simplifica.
Para dividir fracciones: multiplica por el inverso.
Para comparar fracciones: usa denominador común, cruzado o decimal.
8. Errores frecuentes en la PAES
| Error | Por qué ocurre | Cómo evitarlo |
|---|---|---|
| Sumar numeradores y denominadores | Se trata la fracción como dos números separados. | Para sumar fracciones se necesita denominador común. |
| Olvidar invertir en la división | Se confunde división con multiplicación. | Transformar la división en multiplicación por el inverso. |
| Comparar fracciones solo por numeradores | No se considera el tamaño de las partes. | Usar denominador común o multiplicación cruzada. |
| Confundir decimal periódico con irracional | Se cree que todo decimal infinito es no racional. | Decimales finitos y periódicos son racionales. |
| No simplificar el resultado | Se deja una fracción equivalente pero no reducida. | Buscar si numerador y denominador tienen divisor común. |
Resumen
- Los números racionales son los que pueden escribirse como a/b, con a y b enteros y b ≠ 0.
- Incluyen fracciones, enteros, decimales finitos y decimales periódicos.
- Sirven para representar partes, divisiones, porcentajes, razones y proporciones.
- Para sumar o restar fracciones, se necesita denominador común.
- Para multiplicar fracciones, se multiplican numeradores y denominadores.
- Para dividir fracciones, se multiplica por el inverso de la segunda fracción.
- En PAES, la clave es elegir la representación más conveniente: fracción, decimal o porcentaje.
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