1. Idea central
Los números enteros permiten representar cantidades positivas, negativas y el cero. Son fundamentales cuando una situación no solo tiene cantidad, sino también sentido: ganar o perder, subir o bajar, avanzar o retroceder, deber o tener saldo a favor.
En la PAES, los números enteros aparecen en problemas de temperaturas, deudas, ganancias, pérdidas, desplazamientos, cambios de puntaje, recta numérica y operaciones con signos.
La idea clave es esta: los números enteros permiten trabajar con cantidades que pueden estar sobre o bajo un punto de referencia.
Ese punto de referencia suele ser el 0. Por ejemplo, una temperatura de -3 °C está bajo cero, una deuda de $5.000 puede representarse como -5.000 y una ganancia de $8.000 puede representarse como +8.000.
2. ¿Qué son?
Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales positivos, sus opuestos negativos y el cero.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Los enteros permiten representar cantidades completas que pueden ser positivas, negativas o nulas. No incluyen fracciones ni decimales. Por ejemplo, -4 es entero, 0 es entero y 9 es entero; pero 1/2 y 3,7 no son enteros.
| Ejemplo | ¿Es entero? | Explicación |
|---|---|---|
| -8 | Sí | Es un número negativo sin parte decimal. |
| 0 | Sí | Es entero, pero no es positivo ni negativo. |
| 12 | Sí | Es un entero positivo. |
| 2,5 | No | Tiene parte decimal. |
| 1/3 | No | Es una fracción, no un entero. |
3. ¿Para qué sirven?
Los números enteros sirven para representar situaciones donde existe un punto de referencia y se puede estar por encima o por debajo de él. Ese punto suele ser el 0.
En la vida real, se usan para representar temperaturas bajo cero, deudas, ganancias, pérdidas, pisos subterráneos, cambios de puntaje, alturas sobre o bajo el nivel del mar y desplazamientos en sentidos opuestos.
En la PAES, sirven para interpretar correctamente signos positivos y negativos. Muchas veces el error no está en sumar o multiplicar, sino en comprender qué representa cada signo dentro del contexto.
Una ganancia se puede representar con signo positivo.
Una pérdida se puede representar con signo negativo.
El 0 puede representar equilibrio, origen o ausencia de cambio.
4. ¿Qué problemas nos resuelven?
Los números enteros permiten resolver problemas donde hay cantidades con sentido positivo o negativo. Ayudan a comparar, ordenar, calcular variaciones y operar correctamente con signos.
| Tipo de problema | Pregunta que responde | Concepto útil |
|---|---|---|
| Comparación | ¿Cuál número es mayor o menor? | Recta numérica |
| Cambios o variaciones | ¿Cuánto subió o bajó una cantidad? | Suma y resta de enteros |
| Operaciones con signos | ¿El resultado será positivo o negativo? | Regla de los signos |
| Distancia al cero | ¿Qué tan lejos está un número del 0? | Valor absoluto |
Por ejemplo, si una temperatura cambia de 5 °C a -3 °C, el problema no se resuelve mirando solo el 5 y el 3. Hay que entender que el cambio pasa por el 0.
De 5 a -3 hay 8 unidades de diferencia.
5. Conceptos clave que debes dominar
Para dominar los enteros en la PAES, necesitas manejar con soltura estos cinco conceptos: positivo, negativo, opuesto, valor absoluto y recta numérica.
Idea clave: el valor absoluto es distancia al 0 (siempre ≥ 0). El opuesto cambia el signo. En la recta, a la derecha siempre es mayor.
| Concepto | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Entero positivo | Número mayor que 0. | 7 |
| Entero negativo | Número menor que 0. | -7 |
| Opuesto | Número con igual distancia al 0, pero signo contrario. | El opuesto de -5 es 5. |
| Valor absoluto | Distancia de un número al 0. | |-8| = 8. |
| Recta numérica | Representación ordenada de los números. | -4 está a la izquierda de -1. |
5b. Orden y comparación de enteros
Para la PAES es clave saber cuál entero es mayor o menor, y ordenar una lista de enteros de menor a mayor (o al revés). La herramienta más directa es la recta numérica.
Regla principal: en la recta numérica, el número que está más a la derecha es siempre el mayor.
Eso parece obvio con positivos (5 está a la derecha de 2, y 5 > 2), pero con negativos aparece la trampa más frecuente de la PAES:
Trampa con negativos: −1 > −8, aunque 8 sea un número más "grande" que 1.
¿Por qué? Porque −1 está más a la derecha en la recta (más cerca del 0).
El valor absoluto sirve para comparar cuando los signos son distintos: mide la distancia de cada número al 0, sin importar el signo.
|−8| = 8 |3| = 3 |0| = 0
El valor absoluto nunca es negativo. Mide distancia, no dirección.
Para ordenar una lista de enteros, el método más seguro es ubicarlos en la recta mentalmente y leerlos de izquierda a derecha (de menor a mayor).
Ejemplo: ordena de menor a mayor: −8, 3, −1, 0, −5
En la recta: −8 < −5 < −1 < 0 < 3
Respuesta: −8, −5, −1, 0, 3
6. ¿Cómo resolver ejercicios?
Para resolver ejercicios con números enteros, primero debes reconocer qué tipo de situación aparece: comparación, suma, resta, multiplicación, división o valor absoluto.
Paso 1: identifica si el problema habla de orden, cambio, deuda, ganancia, pérdida o distancia.
Paso 2: determina qué representa el signo negativo en el contexto.
Paso 3: elige la operación adecuada.
Paso 4: resuelve cuidando los signos.
Paso 5: interpreta el resultado en el contexto.
Para comparar enteros, usa la recta numérica: el que está más a la derecha es mayor. Ejemplo: −2 es mayor que −7 porque −2 está más cerca del 0.
Mismo signo (suma): se suman los valores y se conserva el signo. Ejemplo: −4 + (−6) = −10.
Distinto signo (suma): se restan los valores y queda el signo del mayor valor absoluto. Ejemplo: −9 + 4 = −5.
Resta: convierte en suma del opuesto. Ejemplo: 7 − (−3) = 7 + 3 = 10.
Multiplicación y división: signos iguales → resultado positivo; signos distintos → resultado negativo. El signo negativo en el enunciado suele indicar dirección o situación (deuda, pérdida, bajo 0), no solo “un número feo”.
7. Camino más fácil para resolver
En números enteros, la regla depende de la operación. No hay una regla única para todo.
| Si ves... | Haz esto | Ejemplo |
|---|---|---|
| Comparación de negativos | Usa la recta numérica. | -8 < -3. |
| Suma con signos iguales | Suma y conserva el signo. | -5 + (-4) = -9. |
| Suma con signos distintos | Resta y deja el signo del mayor valor absoluto. | -10 + 6 = -4. |
| Resta con negativos | Cambia a suma del opuesto. | 4 - (-7) = 4 + 7 = 11. |
| Multiplicación o división | Aplica regla de signos. | -3 · (-5) = 15. |
La clave PAES: la regla "signos iguales dan positivo y signos distintos dan negativo" sirve para multiplicar y dividir, no para sumar y restar.
8. Errores frecuentes
| Error | Por qué ocurre | Cómo evitarlo |
|---|---|---|
| Creer que -8 es mayor que -3 | Se mira solo el 8 y el 3, sin considerar la recta numérica. | En negativos, el más cercano al 0 es mayor. |
| Aplicar regla de signos en una suma | Se confunde suma con multiplicación. | En suma se comparan valores absolutos; en multiplicación se usa regla de signos. |
| Resolver mal una resta con negativo | No se transforma la resta en suma del opuesto. | Reescribir: 6 - (-2) = 6 + 2 = 8. |
| Confundir valor absoluto con cambiar a positivo | Se memoriza sin entender que es distancia al 0. | El valor absoluto mide distancia y nunca es negativo. |
9. Resumen final
- Los números enteros incluyen negativos, positivos y el 0.
- Sirven para representar cantidades con sentido: ganancias, pérdidas, deudas, temperaturas y desplazamientos.
- En la recta numérica, el número que está más a la derecha es mayor.
- El valor absoluto representa la distancia de un número al 0.
- Para sumar enteros, analiza si los signos son iguales o distintos.
- Para restar enteros, transforma la resta en suma del opuesto.
- Para multiplicar y dividir enteros, signos iguales dan positivo y signos distintos dan negativo.
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