Porcentajes

1. Idea central

Los porcentajes son una forma de representar una parte de un total usando como referencia el número 100. Cuando decimos 20%, estamos diciendo "20 de cada 100". Esta idea permite comparar cantidades, calcular partes, aplicar descuentos, aumentos, IVA y variaciones en contextos reales.

En la PAES M1, los porcentajes son importantes porque aparecen en problemas cotidianos: precios con descuento, aumentos de sueldo, impuestos, variaciones de población, resultados de encuestas, porcentajes de logro, intereses y comparación de cantidades.

La idea clave es esta: un porcentaje siempre se calcula sobre una cantidad base.

Por ejemplo, 30% no tiene un valor fijo por sí solo. El 30% de $10.000 es $3.000, pero el 30% de $80.000 es $24.000. El porcentaje es el mismo, pero la base cambia.

Por eso, en porcentajes, una de las habilidades más importantes es identificar sobre qué cantidad se está aplicando el porcentaje.

2. ¿Qué es?

Un porcentaje es una razón que compara una cantidad con 100. El símbolo % significa "por ciento", es decir, "por cada 100".

25% = 25/100 = 0,25

Esto significa que todo porcentaje puede escribirse como fracción y como decimal. Estas tres formas representan lo mismo, pero cada una puede ser más útil según el tipo de problema.

La forma decimal es muy útil para calcular rápidamente con multiplicación. Por ejemplo, para calcular 15% de una cantidad, se puede usar 0,15.

15% = 15/100 = 0,15

3. ¿Para qué sirve?

Los porcentajes sirven para comparar cantidades de manera proporcional. Esto significa que permiten saber qué tan grande es una parte respecto de un total.

En la vida real, los porcentajes aparecen en descuentos, aumentos, IVA, intereses, encuestas, inflación, variación de precios, notas, porcentajes de logro y estadísticas.

En la PAES M1, los porcentajes sirven para resolver problemas donde una cantidad cambia o se compara con otra. La dificultad no está solo en hacer la multiplicación, sino en entender qué representa el porcentaje dentro del enunciado.

El porcentaje siempre necesita una base. Sin base, el porcentaje no tiene un valor concreto.

4. ¿Qué problemas resuelve?

Los porcentajes permiten resolver problemas donde se necesita calcular una parte de una cantidad, aplicar un descuento, calcular un aumento, agregar IVA o medir una variación.

La clave es distinguir qué pide el problema. No es lo mismo calcular el monto de un descuento que calcular el precio final. Tampoco es lo mismo calcular cuánto aumentó una cantidad que calcular el porcentaje de aumento.

5. Conceptos clave

6. ¿Cómo resolver ejercicios?

6.1 Calcular p% de una cantidad

Si el problema pregunta cuánto es un porcentaje de una cantidad, se transforma el porcentaje a decimal y se multiplica por la cantidad base.

p% de una cantidad = p/100 · cantidad

Ejemplo: calcular 30% de $80.000.

30% = 0,30
0,30 · 80.000 = 24.000

6.2 Descuentos

Un descuento es una disminución sobre el valor inicial. Puedes resolverlo en dos pasos o con factor directo.

Precio inicial: $50.000 — Descuento: 20%
Método dos pasos: 20% de 50.000 = 10.000 → 50.000 − 10.000 = 40.000
Método directo: 100% − 20% = 80% → 0,80 · 50.000 = 40.000

El método directo suele ser más rápido cuando la pregunta pide el precio final.

6.3 Aumentos

Un aumento es un incremento sobre el valor inicial. Ejemplo: $60.000 aumenta 15%.

Método dos pasos: 0,15 · 60.000 = 9.000 → 60.000 + 9.000 = 69.000
Método directo: 100% + 15% = 115% → 1,15 · 60.000 = 69.000

6.4 IVA

El IVA en Chile es 19%. Se aplica como un aumento sobre el precio neto.

Precio con IVA = precio neto · 1,19
Precio neto = precio con IVA / 1,19

Atención: si un precio ya incluye IVA y se quiere el neto, no se resta 19% al precio final. Ese 19% se calculó sobre el neto, no sobre el total.

6.5 Variación porcentual

Mide cuánto cambió una cantidad respecto de su valor inicial.

Variación porcentual = (valor final − valor inicial) / valor inicial · 100

Ejemplo: un precio sube de $40.000 a $50.000.

(50.000 − 40.000) / 40.000 · 100 = 10.000 / 40.000 · 100 = 25%

7. Camino más fácil para resolver

Situación	Camino rápido	Ejemplo
Calcular 10%	Dividir por 10.	10% de 80.000 = 8.000
Calcular 25%	Dividir por 4.	25% de 60.000 = 15.000
Calcular 50%	Dividir por 2.	50% de 90.000 = 45.000
Descuento de 30%	Multiplicar por 0,70.	Se paga el 70%.
Aumento de 30%	Multiplicar por 1,30.	El nuevo valor es 130%.

8. Errores frecuentes en la PAES

Error	Por qué ocurre	Cómo evitarlo
Calcular sobre la base equivocada	No se identifica el valor inicial.	Subrayar la cantidad base antes de operar.
Confundir descuento con precio final	Se calcula solo el monto rebajado.	Distinguir "monto descontado" de "precio final".
Sumar 15 en vez de calcular 15%	Se confunde porcentaje con cantidad fija.	15% depende de la base, no es un número fijo.
Quitar IVA restando 19% al precio final	El 19% se calculó sobre el neto, no sobre el total.	Si el precio incluye IVA, dividir por 1,19.
Usar el valor final en variación porcentual	Se confunde la base de comparación.	La variación siempre se compara con el valor inicial.

Resumen

• Un porcentaje representa una parte de cada 100.
• Todo porcentaje puede escribirse como fracción y como decimal.
• Para calcular p% de una cantidad: p/100 · cantidad.
• En un descuento, el valor final es menor que el inicial; factor menor que 1.
• En un aumento, el valor final es mayor que el inicial; factor mayor que 1.
• IVA 19%: precio con IVA = neto · 1,19. Para encontrar el neto: dividir por 1,19.
• Variación porcentual = cambio / valor inicial · 100.
• La clave PAES es identificar la base antes de operar.