¿Qué es la Matemática Financiera?
Cada vez que alguien compra un celular en cuotas, saca un crédito para estudiar o cotiza en la AFP, está usando matemática financiera sin saberlo. Esta área estudia cómo cambia el valor del dinero en el tiempo: cuánto crece una inversión, cuánto cuesta realmente una deuda y cómo comparar dos opciones que parecen similares pero tienen costos muy distintos.
La idea central es que un peso hoy no vale lo mismo que un peso en un año: ese peso podría estar generando interés en el banco, o bien ese año de espera tiene un costo si pediste prestado. La matemática financiera cuantifica exactamente esa diferencia.
Interés simple: M = C · (1 + r · n) — el porcentaje se aplica siempre sobre el capital original.
Interés compuesto: M = C · (1 + r)n — los intereses de cada período se reinvierten y generan más interés.
¿Para qué sirve esto?
En la PAES M2, los problemas financieros aparecen en situaciones concretas:
- AFP y jubilación: cuánto acumula un trabajador que deposita mensualmente con una rentabilidad.
- Crédito hipotecario: cuánto termina pagando alguien que pide plata prestada para comprar una casa.
- Crédito de consumo: cuánto cuesta realmente comprar algo en cuotas (celular, refrigerador, etc.).
- CAE: cuál de dos créditos es más barato cuando comparas su costo real anual.
¿Qué nos resuelve?
Con matemática financiera podemos calcular:
- Cuánto interés se paga o se gana en un período determinado.
- Cuánto vale en total una deuda después de N meses o años.
- Cuánto se acumula en la AFP después de trabajar varios años.
- Qué crédito conviene más comparando el CAE.
- Cuánto queda después de subidas y bajadas de precio consecutivas.
Conceptos clave antes de resolver
Hay cuatro palabras que aparecen en todos los problemas financieros. Hay que tenerlas claras desde el principio:
Capital (C): la plata que pones al inicio, ya sea que la inviertes o la pides prestada.
Tasa (r): el porcentaje que te cobran o te pagan por usar el dinero. Siempre se convierte a decimal antes de calcular: 5% → 0,05.
Tiempo (n): cuántos períodos pasan (meses, años). Debe estar en la misma unidad que la tasa.
Monto (M): la cantidad total al final: capital más todo el interés acumulado.
Hay dos formas distintas de calcular el interés. La diferencia está en sobre qué se aplica el porcentaje cada vez:
Interés simple: el porcentaje siempre se calcula sobre el capital original, sin importar cuánto tiempo pase. El interés es siempre el mismo cada período.
Fórmula del monto: M = C · (1 + r · n)
Interés compuesto: al final de cada período, el interés se suma al capital, y en el siguiente período se calcula el porcentaje sobre ese nuevo total. Es decir, los intereses generan más intereses. Por eso crece mucho más rápido.
Fórmula del monto: M = C · (1 + r)n
Para que quede claro, mira la diferencia con $100.000 al 10% anual durante 3 años:
| Año | Interés simple | Interés compuesto |
|---|---|---|
| Año 1 | 100.000 + 10.000 = $110.000 | 100.000 × 1,10 = $110.000 |
| Año 2 | 110.000 + 10.000 = $120.000 | 110.000 × 1,10 = $121.000 |
| Año 3 | 120.000 + 10.000 = $130.000 | 121.000 × 1,10 = $133.100 |
En el interés simple los $10.000 de interés son siempre los mismos. En el compuesto el interés del año 2 se calcula sobre $110.000 (no sobre $100.000), por eso crece más.
El CAE (Carga Anual Equivalente) es un número que los bancos están obligados a publicar en cada crédito. Indica cuánto cuesta ese crédito en un año, incluyendo la tasa de interés, las comisiones y los seguros. En la PAES no se calcula el CAE — solo se compara:
Menor CAE = crédito más barato. Siempre, sin excepción.
¿Cómo resolver?
Interés simple
Se usa cuando el enunciado dice explícitamente "interés simple" o cuando se trata de un préstamo o ahorro a corto plazo donde el interés no se reinvierte.
Problema: Pedro pide prestados $200.000 a una tasa de 3% mensual por 4 meses con interés simple. ¿Cuánto termina pagando en total?
Paso 1 — Identifico los datos: C = 200.000, r = 0,03 (el 3% en decimal), n = 4 meses.
Paso 2 — Aplico la fórmula: M = C · (1 + r · n) = 200.000 · (1 + 0,03 · 4).
Paso 3 — Calculo: 0,03 · 4 = 0,12. Entonces 1 + 0,12 = 1,12.
Paso 4 — M = 200.000 · 1,12 = $224.000.
Resultado: Pedro paga $224.000 en total. El interés fue $24.000.
Interés compuesto
Se usa en AFP, inversiones a largo plazo y créditos hipotecarios. La clave es que el interés de cada período se suma al capital y en el siguiente período ya es parte de la base.
Problema: Ana deposita $100.000 en su AFP con una rentabilidad del 5% anual compuesto. ¿Cuánto tendrá después de 3 años?
Paso 1 — Identifico los datos: C = 100.000, r = 0,05, n = 3 años.
Paso 2 — Aplico la fórmula: M = C · (1 + r)n = 100.000 · (1,05)3.
Paso 3 — Calculo (1,05)3 paso a paso:
1,05 × 1,05 = 1,1025
1,1025 × 1,05 = 1,157625
Paso 4 — M = 100.000 · 1,157625 ≈ $115.763.
Resultado: Ana tendrá $115.763. Con interés simple habría tenido solo $115.000.
Comparar créditos con el CAE
Cuando el problema te da dos o más créditos con distintas condiciones, el CAE es la herramienta para elegir. No hace falta calcular nada, solo comparar el número.
Problema: El Banco A ofrece un crédito de $500.000 a 12 meses con CAE 24%. El Banco B ofrece el mismo crédito con CAE 18%. ¿Cuál conviene?
Paso 1 — El CAE mide el costo real anual de cada crédito.
Paso 2 — Comparo: CAE 18% < CAE 24%.
Resultado: conviene el Banco B. Menor CAE significa que ese crédito cuesta menos en total durante el año.
Variación porcentual acumulada
Cuando un precio sube y luego baja (o al revés), no se pueden sumar los porcentajes. Hay que multiplicar los factores. Esta es una de las trampas más frecuentes de la PAES.
Problema: un producto costaba $50.000. Primero subió un 20% y luego bajó un 20%. ¿Cuánto cuesta ahora?
Paso 1 — Convierto cada variación a factor:
Subir 20% → multiplicar por 1,20
Bajar 20% → multiplicar por 0,80
Paso 2 — Multiplico los factores: 1,20 × 0,80 = 0,96.
Paso 3 — Aplico al precio original: 50.000 × 0,96 = $48.000.
Resultado: el precio final es $48.000, no $50.000. Subir y bajar el mismo porcentaje no se compensa — siempre queda menos.
Caminos más fáciles para resolver
- Lo primero siempre: convierte la tasa a decimal. El 5% se escribe 0,05 en la fórmula. Si no haces esto, el resultado estará multiplicado por 100 y será completamente incorrecto.
- Para identificar qué fórmula usar: si el interés se calcula siempre sobre el mismo capital → simple. Si los intereses se reinvierten y crecen → compuesto. AFP y créditos de largo plazo son casi siempre compuesto.
- Piensa en (1 + r) como "el factor de crecimiento por período". Con 5% anual, cada año el monto se multiplica por 1,05. Elevarlo a n es aplicarlo n veces seguidas.
- Para calcular (1 + r)n sin calculadora multiplica paso a paso. En la PAES n es generalmente 2, 3 o 4, así que es manejable.
- CAE: no calcules, solo compara. El crédito con el número más pequeño es el más barato, siempre.
- Variaciones consecutivas: multiplica factores, nunca sumes porcentajes. +20% y −20% = 1,20 × 0,80 = 0,96, no 0% de variación.
💡 ¿Sabías que? El error más frecuente en la PAES con variaciones porcentuales es sumar los porcentajes. Si un precio sube 20% y luego baja 20%, la mayoría responde "quedó igual". Pero el resultado real es −4%: la baja se aplica sobre un precio ya más alto, por eso el descuento es mayor en pesos pero el porcentaje final no se cancela. Para no caer en la trampa: convierte siempre a factor (1,20 × 0,80 = 0,96) antes de operar.
Errores que hay que evitar
- Usar la tasa sin convertir a decimal. Escribir r = 5 en vez de r = 0,05 da un resultado 100 veces más grande.
- Confundir el interés con el monto total. El interés es solo la ganancia o el costo extra: I = M − C. El monto incluye el capital original.
- Sumar porcentajes consecutivos. Un aumento del 10% seguido de una baja del 10% no da 0% de variación: da −1%. Siempre multiplica los factores.
- Mezclar unidades de tiempo. Si la tasa es mensual, n debe estar en meses. Si la tasa es anual, n debe estar en años. Mezclarlos da un resultado completamente equivocado.
- Aplicar interés simple cuando corresponde compuesto. Para AFP y créditos largos siempre es compuesto. La diferencia en el resultado puede ser enorme.
Resumen rápido
Interés simple: M = C · (1 + r · n). El % siempre se aplica al capital original.
Interés compuesto: M = C · (1 + r)n. Los intereses generan más intereses.
Tasa siempre en decimal: 5% = 0,05.
Tasa y tiempo en la misma unidad (ambos en meses o ambos en años).
CAE: no se calcula, se compara. Menor CAE = crédito más barato.
Variaciones consecutivas: multiplica factores, no sumes porcentajes.
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