Logaritmos

¿Qué son los Logaritmos?

¿Para qué sirve esto?

Imagínate que tienes $1.000 y los duplicas cada año. ¿Cuántos años necesitas para tener $32.000? Podrías hacer la cuenta a mano: 1.000 → 2.000 → 4.000 → 8.000 → 16.000 → 32.000. Cinco años. Pero si la cantidad fuera enorme, ese proceso sería eterno. Para eso existen los logaritmos: para encontrar ese número de años (el exponente) de manera directa.

Los logaritmos están en muchos lugares de la vida real:

• La escala Richter de terremotos es logarítmica. Un sismo 7 no es un poco más fuerte que uno de magnitud 6: es 10 veces más fuerte. Por eso en Chile los logaritmos son especialmente importantes.
• El volumen del sonido en decibeles también usa logaritmos. Por eso subir de 60 a 70 decibeles no es sumar un poquito de ruido, sino multiplicarlo.
• El pH que mide si algo es ácido o básico (como el vinagre o el agua) está calculado con logaritmos.
• En matemática financiera, cuando quieres saber en cuántos años se duplica una inversión, necesitas un logaritmo para despejar el tiempo.

¿Qué nos resuelve?

Un logaritmo responde exactamente una pregunta:

¿A qué exponente debo elevar la base para obtener ese número?

Con esa idea podemos:

• Calcular directamente el valor de un logaritmo.
• Convertir una potencia en logaritmo y al revés.
• Simplificar expresiones que tienen multiplicaciones, divisiones o potencias dentro de un logaritmo.
• Resolver problemas de la PAES donde el exponente es la incógnita.

Conceptos clave antes de resolver

Antes de las fórmulas, hay que entender una sola idea. El logaritmo y la potencia son dos formas de decir exactamente lo mismo:

2³ = 8  dice: "2 elevado a 3 da 8".
log₂(8) = 3  dice exactamente lo mismo, pero pregunta por el 3.

La potencia tiene el exponente visible. El logaritmo lo busca. Eso es todo.

La forma general es:

log_b(a) = x  significa que  b^x = a

b = base (el número que se eleva)
a = argumento (el número que quiero obtener)
x = resultado (el exponente que buscaba)

Dos resultados que siempre se cumplen y conviene tener de memoria:

log_b(1) = 0  — porque cualquier número elevado a 0 da 1.
log_b(b) = 1  — porque cualquier número elevado a 1 es él mismo.

Condiciones para que el logaritmo exista:

La base debe ser positiva y distinta de 1.
El argumento debe ser positivo.
No existe log(0) ni logaritmo de números negativos.

Las tres propiedades que permiten simplificar expresiones:

Propiedad	Fórmula	En palabras
Producto	logb(M · N) = logb(M) + logb(N)	Multiplicar dentro → sumar afuera.
Cociente	logb(M / N) = logb(M) − logb(N)	Dividir dentro → restar afuera.
Potencia / Raíz	logb(Mk) = k · logb(M)	El exponente baja multiplicando.

¿Cómo resolver?

Calcular un logaritmo directamente

La única estrategia es pensar en potencias. Preguntar: ¿qué exponente necesita la base para llegar al argumento?

Problema: ¿Cuánto es log₂(32)?

Paso 1 — Me pregunto: ¿a qué exponente elevo 2 para obtener 32?

Paso 2 — Voy probando: 2¹=2 · 2²=4 · 2³=8 · 2⁴=16 · 2⁵=32 ✓

Paso 3 — El exponente es 5.

Resultado: log₂(32) = 5

Convertir entre potencia y logaritmo

Potencia y logaritmo son dos caras de la misma moneda. Saber pasar de una a la otra es clave en la PAES.

Usar las propiedades para simplificar

Cuando el argumento tiene una multiplicación, no necesito calcular el producto primero. Puedo separar y resolver cada parte.

Problema: calcular log₂(8 · 4)

Paso 1 — Propiedad del producto: log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4).

Paso 2 — Calculo cada parte por separado:
  log₂(8) = 3  (porque 2³ = 8)
  log₂(4) = 2  (porque 2² = 4)

Paso 3 — Sumo: 3 + 2 = 5.

Resultado: log₂(8 · 4) = 5
(se puede verificar: 8 · 4 = 32, y log₂(32) = 5 ✓)

Logaritmo de una raíz

Una raíz siempre puede escribirse como potencia fraccionaria: √x = x^1/2, ∛x = x^1/3. Una vez hecha esa conversión, se aplica la propiedad de potencia y el exponente baja multiplicando.

Problema: calcular log₂(√32)

Paso 1 — Convierto la raíz a potencia: √32 = 32^1/2.

Paso 2 — El exponente baja multiplicando: log₂(32^1/2) = (1/2) · log₂(32).

Paso 3 — Calculo log₂(32) = 5  (porque 2⁵ = 32).

Paso 4 — Multiplico: (1/2) · 5 = 5/2.

Resultado: log₂(√32) = 5/2

Caminos más fáciles para resolver

• Memoriza las potencias pequeñas de 2, 3, 5 y 10. La mayoría de los logaritmos de la PAES usan esas bases y sus potencias exactas (8, 16, 27, 81, 100, 1000). Si las conoces de memoria, resolver un logaritmo tarda segundos.
• Ante cualquier logaritmo, hazte la misma pregunta de siempre: ¿a qué exponente elevo la base para obtener el argumento? Eso te lleva directo al resultado.
• Si el argumento tiene una multiplicación, separa antes de calcular. Es mucho más fácil calcular log₂(8) + log₂(4) que calcular log₂(32) de golpe.
• Si hay una raíz, conviértela a potencia fraccionaria primero y después baja el exponente. No intentes trabajar con la raíz directamente.
• log sin base escrita = log en base 10. Ese es el convenio en Chile y en la PAES.

Errores que hay que evitar

• Confundir base y argumento. En log₂(8), la base es 2 y el argumento es 8. Al revés es log₈(2), que vale 1/3, no 3.
• Pensar que log(M · N) = log(M) · log(N). Falso. La propiedad dice que se suman los logaritmos, no se multiplican.
• Intentar sacar el logaritmo de un número negativo o de cero. No existe en los reales. Si aparece en un ejercicio, es una trampa o hay un error en el planteamiento.
• Olvidar que log_b(b) = 1. Si la base y el argumento son el mismo número, el resultado es siempre 1, sin calcular nada.
• Trabajar con una raíz sin convertirla a potencia primero. La propiedad solo funciona con exponentes, no con el símbolo de raíz.

Resumen rápido

log_b(a) = x significa que b^x = a. El logaritmo busca el exponente.
log_b(1) = 0 siempre. log_b(b) = 1 siempre.
Producto dentro → sumar afuera: log(M·N) = log(M) + log(N).
Cociente dentro → restar afuera: log(M/N) = log(M) − log(N).
Potencia dentro → el exponente baja: log(M^k) = k · log(M).
Raíz dentro → convertir a potencia fraccionaria: log(ⁿ√a) = (1/n) · log(a).