Relaciones Métricas en la Circunferencia

¿Qué son las relaciones métricas en la circunferencia?

La circunferencia tiene propiedades geométricas que permiten calcular ángulos y longitudes usando fórmulas exactas. El punto de partida es reconocer los elementos básicos:

• Arco: porción de la circunferencia entre dos puntos. Se mide en grados (0° a 360°).
• Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Secante: recta que corta la circunferencia en dos puntos distintos.
• Ángulo central: vértice en el centro; sus lados son radios.
• Ángulo inscrito: vértice sobre la circunferencia; sus lados son cuerdas.

¿Para qué sirve esto?

Permite resolver problemas donde se dan algunos ángulos o longitudes y se piden los demás. Los tipos de problemas más frecuentes son:

• Calcular la medida de un ángulo a partir de arcos conocidos.
• Calcular la medida de un arco a partir de un ángulo dado.
• Hallar la longitud de un segmento de cuerda o secante.

¿Qué nos resuelve?

• Encontrar ángulos a partir de arcos y viceversa, usando las cuatro fórmulas angulares.
• Calcular segmentos desconocidos cuando dos cuerdas se cortan dentro de la circunferencia.
• Calcular segmentos cuando dos secantes parten desde un punto exterior.
• Determinar si un ángulo inscrito mide 90° (cuando intercepta un diámetro).

Conceptos clave antes de resolver

1. Ángulo central

El vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. La medida del ángulo es exactamente igual a la del arco que abre.

Ángulo central = arco interceptado
Si el arco mide 110°, el ángulo central mide 110°. No se divide.

2. Ángulo inscrito

El vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas. El ángulo inscrito siempre mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo inscrito = (1/2) × arco interceptado
Si el arco mide 140°, el ángulo inscrito mide 70°.

Dos consecuencias importantes:

• Todos los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son iguales entre sí, sin importar la posición del vértice en la circunferencia.
• Si el ángulo inscrito intercepta un semicírculo (arco de 180°, es decir, un diámetro), mide exactamente 90°. Este es el Teorema de Tales.

3. Ángulo entre dos cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia

Cuando dos cuerdas se cortan en un punto interior P, se forman cuatro ángulos. Cada uno se calcula con los dos arcos que quedan opuestos al ángulo.

Ángulo interior = (1/2) × (arco interceptado + arco opuesto)
Se suman los dos arcos y se divide entre 2.

4. Ángulo formado por dos secantes desde un punto exterior

El vértice está fuera de la circunferencia. Las dos secantes interceptan dos arcos: uno mayor y uno menor. El ángulo exterior se calcula con la diferencia entre ambos arcos.

Ángulo exterior = (1/2) × (arco mayor − arco menor)
Se restan los arcos (mayor menos menor) y se divide entre 2.

5. Teorema de las cuerdas (segmentos interiores)

Si dos cuerdas AB y CD se cortan en el punto P dentro de la circunferencia, los productos de sus segmentos son iguales. Esto funciona para cualquier par de cuerdas que se cruce en un mismo punto interior.

AP × PB = CP × PD
AP y PB son los dos fragmentos de la cuerda AB. CP y PD son los de la cuerda CD.

6. Teorema de las secantes (punto exterior)

Si desde el punto exterior P se trazan dos secantes que cortan la circunferencia en A, B y en C, D, entonces el producto del segmento exterior por la secante total es igual en ambas.

PA × PB = PC × PD
PA = segmento del exterior al primer corte; PB = PA + AB (secante completa).

Tipo de ángulo	Vértice	Fórmula
Central	Centro	= arco
Inscrito	Sobre la circunferencia	= (1/2) × arco
Dos cuerdas interiores	Dentro de la circunferencia	= (1/2)(arco₁ + arco₂)
Dos secantes exteriores	Fuera de la circunferencia	= (1/2)(arco mayor − arco menor)

¿Cómo resolver?

Tipo 1: Calcular un ángulo a partir de arcos conocidos

Paso 1 — Identificar el tipo de ángulo según dónde está el vértice:

• Vértice en el centro → ángulo central → fórmula: = arco.
• Vértice sobre la circunferencia → ángulo inscrito → fórmula: = (1/2) × arco.
• Vértice dentro (dos cuerdas que se cruzan) → fórmula: = (1/2)(arco₁ + arco₂).
• Vértice fuera (dos secantes) → fórmula: = (1/2)(arco mayor − arco menor).

Paso 2 — Verificar que los arcos disponibles sumen 360°. Si falta un arco, calcularlo restando los demás de 360° antes de aplicar la fórmula.

Paso 3 — Aplicar la fórmula y calcular.

Ejemplo completo: Un ángulo inscrito tiene sus lados sobre la circunferencia y el arco que intercepta mide 80°. ¿Cuánto mide el ángulo?

Vértice sobre la circunferencia → ángulo inscrito.
Ángulo = (1/2) × 80° = 40°.

Tipo 2: Calcular un arco a partir de un ángulo dado

Paso 1 — Identificar el tipo de ángulo (mismo criterio anterior).

Paso 2 — Despejar el arco de la fórmula correspondiente:

• Si es central: arco = ángulo.
• Si es inscrito: arco = 2 × ángulo.
• Si es interior (cuerdas): arco₁ + arco₂ = 2 × ángulo. Si uno de los arcos es conocido, despejar el otro.
• Si es exterior (secantes): arco mayor − arco menor = 2 × ángulo. Si uno es conocido, despejar el otro.

Ejemplo completo: Un ángulo exterior mide 40° y el arco menor interceptado mide 80°. ¿Cuánto mide el arco mayor?

Fórmula: ángulo exterior = (1/2)(arco mayor − arco menor)
40 = (1/2)(arco mayor − 80°)
80 = arco mayor − 80°
arco mayor = 80° + 80° = 160°.

Tipo 3: Calcular segmentos con el teorema de cuerdas

Paso 1 — Identificar los cuatro segmentos: las dos cuerdas se cortan en P. La primera cuerda queda dividida en AP y PB; la segunda en CP y PD.

Paso 2 — Aplicar AP × PB = CP × PD con los tres valores conocidos.

Paso 3 — Despejar el segmento desconocido dividiendo el producto conocido entre el coeficiente.

Ejemplo completo: AP = 6, PB = 4, CP = 3. ¿Cuánto mide PD?

AP × PB = CP × PD
6 × 4 = 3 × PD
24 = 3 × PD
PD = 24 ÷ 3 = 8.

Tipo 4: Calcular segmentos con el teorema de secantes

Paso 1 — Calcular el segmento total de cada secante. Si te dan el segmento exterior (PA) y la cuerda interior (AB), el segmento total es PB = PA + AB.

Paso 2 — Aplicar PA × PB = PC × PD con los valores completos.

Paso 3 — Despejar el valor desconocido.

Ejemplo completo: PA = 4, AB = 11 (cuerda interior), PC = 6. ¿Cuánto mide PD?

PB = PA + AB = 4 + 11 = 15
PA × PB = PC × PD
4 × 15 = 6 × PD
60 = 6 × PD
PD = 60 ÷ 6 = 10.

Caminos más fáciles para resolver

• Semicírculo = 90° directo: si el ángulo inscrito intercepta un diámetro, mide 90° sin ningún cálculo. Es la propiedad más explotada en la PAES.
• Suma de arcos = 360°: si el problema da tres arcos y pide un cuarto, suma los tres y resta de 360°.
• Mismo arco → mismos ángulos inscritos: si varios ángulos inscritos interceptan el mismo arco, todos son iguales.
• Cuerdas interiores: producto constante. Conociendo tres de los cuatro segmentos, el cuarto se despeja en un solo paso.
• Secantes: siempre calcular PB antes de aplicar la fórmula. PB = segmento exterior + cuerda interior, no solo la cuerda.

Errores que hay que evitar

• Ángulo central ≠ ángulo inscrito: el central es igual al arco; el inscrito es la mitad. Es el error más frecuente de este tema.
• Cuerdas interiores suman, secantes exteriores restan: el ángulo interior usa (arco₁ + arco₂)/2; el exterior usa (arco mayor − arco menor)/2. Confundir la operación lleva directamente a la opción trampa.
• No mezclar segmentos de cuerdas distintas: AP y PB son los dos fragmentos de la misma cuerda, no de cuerdas distintas.
• PB no es la cuerda interior sola: en el teorema de secantes, PB = segmento exterior (PA) + cuerda interior (AB). Usar solo AB como PB es el error más común.
• Arco de 180° no siempre es un semicírculo visible: si el problema dice "AC es diámetro", el arco AC mide 180° aunque no se marque explícitamente en la figura.

Resumen rápido

• Ángulo central = arco; ángulo inscrito = (1/2) arco.
• Dos cuerdas interiores: ángulo = (1/2)(arco₁ + arco₂).
• Dos secantes exteriores: ángulo = (1/2)(arco mayor − arco menor).
• Cuerdas interiores: AP × PB = CP × PD.
• Secantes desde exterior: PA × PB = PC × PD (PB = exterior + cuerda interior).
• Ángulo inscrito en semicírculo = 90°. Todos los arcos suman 360°.