Homotecia: Guía Completa Paso a Paso

Homotecia de figuras planas

La homotecia es una transformación geométrica que agranda o reduce una figura manteniendo su forma exacta. Piensa en el zoom de tu celular: la imagen cambia de tamaño, pero no se deforma ni rota. Hay un punto fijo desde el cual todo se expande o contrae proporcionalmente, llamado centro de homotecia.

El resultado de una homotecia siempre es una figura semejante a la original: mismos ángulos, lados proporcionales, lados correspondientes paralelos. La única diferencia es la escala, controlada por un número llamado razón de homotecia k.

Homotecia de centro O y razón k: lleva cada punto P a un punto P' tal que OP' = k · OP, con P' sobre la semirrecta que parte de O hacia P (si k > 0) o en dirección opuesta (si k < 0).

La razón k determina dos cosas: el tamaño de la imagen (|k| mayor que 1 amplía, menor que 1 reduce) y la dirección (k positivo mantiene el sentido desde el centro, k negativo lo invierte).

El diagrama muestra ambos casos: con k > 0, el punto P y su imagen quedan del mismo lado del centro O. Con k < 0, la imagen cruza al lado opuesto.

Para calcular k: divide el lado de la imagen por el lado original. El signo lo determina la posición relativa respecto al centro.

¿Para qué sirve esto?

La homotecia formaliza la idea de escala, presente en múltiples situaciones cotidianas y científicas:

• Mapas y planos: un plano arquitectónico a escala 1:100 es una homotecia de razón 1/100 respecto del edificio real.
• Modelos a escala: una maqueta de un avión o un edificio reproduce la forma original con k = 1/50 o similar.
• Proyecciones: un proyector amplía la imagen de la pantalla con un k determinado por la distancia focal.
• Fotografía: ampliar una foto de 10×15 cm a 20×30 cm es una homotecia de razón k = 2.

¿Qué nos resuelve?

• Calcular medidas reales desde un plano o maqueta (dado k, obtener la longitud real).
• Encontrar la razón de escala entre dos figuras semejantes.
• Determinar coordenadas de la imagen de un punto, conocidos el centro y k.
• Calcular áreas de figuras transformadas (el área varía en proporción k²).
• Identificar si dos figuras son homotéticas y hallar su centro.

Conceptos clave antes de resolver

Razón de homotecia: k = OP' / OP = (longitud del lado imagen) / (longitud del lado original)
Área de la imagen: A' = k² · A
Perímetro de la imagen: P' = |k| · P

Propiedades de la homotecia:

• Los lados correspondientes son paralelos (si k > 0) o antiparalelos (si k < 0).
• Los ángulos se conservan: la imagen es semejante a la original.
• El centro O, el punto original P y su imagen P' son siempre colineales.
• El centro de homotecia es el único punto que no se mueve (su imagen es él mismo).

¿Cómo resolver?

Calcular la razón k entre dos figuras

Si se dan dos figuras semejantes (triángulos, rectángulos, etc.) y se pide la razón de homotecia:

1. Identificar un par de lados correspondientes (el mismo lado en ambas figuras).
2. Calcular k = longitud lado imagen / longitud lado original.
3. Si k > 1: ampliación. Si 0 < k < 1: reducción.

Ejemplo: Dos triángulos semejantes con lados correspondientes 6 cm y 9 cm. Razón k = 9/6 = 3/2 = 1,5. La imagen es 1,5 veces más grande.

Encontrar la imagen de un punto (con coordenadas)

Dado el centro O = (a, b), la razón k y el punto P = (x, y):

Fórmula: P' = (a + k(x − a) , b + k(y − b))

1. Restar las coordenadas del centro: calcular (x − a) y (y − b).
2. Multiplicar por k.
3. Sumar el centro: P' = (a + k(x−a), b + k(y−b)).

Ejemplo: O = (0, 0), k = 2, P = (3, 4). Entonces P' = (0 + 2·3, 0 + 2·4) = (6, 8). Si el centro es (0,0), simplemente se multiplican las coordenadas por k.

Resolver problemas de escala y maquetas

1. Identificar si te dan la medida en el modelo o en la realidad.
2. Escribir la escala como razón: k = medida modelo / medida real (reducción) o k = medida real / medida modelo (para el inverso).
3. Usar la proporción para encontrar la medida desconocida.

Ejemplo: Un plano a escala 1:50 muestra una habitación de 4 cm × 6 cm. Medidas reales: 4 × 50 = 200 cm = 2 m; 6 × 50 = 300 cm = 3 m.

Calcular áreas en figuras homotéticas

Si la razón de homotecia entre dos figuras es k, sus áreas se relacionan por k²:

Ejemplo: Dos triángulos semejantes con razón k = 3. El área del mayor es 3² = 9 veces la del menor. Si el menor tiene área 10 cm², el mayor tiene 90 cm².

Caminos más fáciles para resolver

• Razón siempre como imagen sobre original: k = lado imagen / lado original. Si el resultado es mayor que 1, hay ampliación; si está entre 0 y 1, hay reducción.
• Áreas escalan como k²: si la razón es k, el área cambia en k². Un truco para recordarlo: las áreas son cuadrados de longitudes.
• Centro en el origen (0,0): la imagen de (x, y) es simplemente (kx, ky). Detecta si el centro es el origen para simplificar los cálculos.
• Lados paralelos como pista: si dos figuras tienen lados paralelos y correspondientes, son homotéticas. Para hallar el centro: prolonga dos pares de lados hasta que se corten; ese punto es O.
• Escala del plano: si la escala es 1:n, entonces k = 1/n para pasar del plano a la realidad; la medida real = medida plano × n.

Errores que hay que evitar

• Usar k² para longitudes: k² se aplica solo a áreas. Para perímetros y longitudes de lados, el factor es |k|, no k².
• Invertir imagen y original: k = lado imagen / lado original, no al revés. Si el problema define cuál es la imagen (la figura obtenida), ese va en el numerador.
• Olvidar el centro en los cálculos de coordenadas: si el centro no es el origen, no se puede simplemente multiplicar por k las coordenadas de P. Siempre restar el centro primero: P' = O + k(P − O).
• Confundir razón de semejanza con razón de homotecia: la razón de semejanza es siempre positiva (es |k|); la razón de homotecia puede ser negativa si la imagen está del lado opuesto del centro.

Resumen rápido

• Homotecia: transformación desde un centro O con razón k. Conserva ángulos; escala longitudes por |k| y áreas por k².
• k = longitud imagen / longitud original.
• Imagen de P dado O y k: P' = O + k(P − O). Si O es el origen: P' = kP.
• k > 1: ampliación · 0 < k < 1: reducción · k < 0: la imagen cruza al otro lado del centro.
• Escala 1:n en mapas → k = 1/n → medida real = medida mapa × n.
• Área imagen = k² × área original.