Función Logarítmica

¿Qué es la función logarítmica?

La función logarítmica es la compañera inseparable de la función exponencial — son inversas la una de la otra. Si la exponencial convierte un exponente en un valor, el logaritmo hace exactamente lo contrario: convierte un valor en el exponente que lo produjo. En términos simples, log_a(x) responde a la pregunta "¿a qué potencia hay que elevar a para obtener x?".

Su gráfico tiene una forma muy característica: parte desde valores muy negativos cerca del eje y, cruza por el punto (1, 0) y luego sube lentamente sin límite. Nunca toca el eje y — esa línea invisible se llama asíntota vertical. El dominio es solo x > 0, porque no existe el logaritmo de un número negativo ni del cero.

f(x) = log_a(x)  ↔  a^f(x) = x

En español simple: el logaritmo responde a la pregunta "¿a qué potencia hay que elevar a para obtener x?"

Ejemplo concreto: log₁₀(1.000) = 3  →  porque 10³ = 1.000. El logaritmo encontró el exponente 3.

Condiciones: a > 0, a ≠ 1, x > 0

¿Para qué sirve?

El logaritmo aparece siempre que un fenómeno crece de forma tan explosiva que necesitamos "comprimirlo" para compararlo. Las escalas logarítmicas convierten multiplicaciones enormes en sumas manejables.

• Escala Richter: cada punto de diferencia equivale a 10 veces más energía. Un sismo de magnitud 7 es 100 veces más intenso que uno de magnitud 5.
• Decibeles (dB): el nivel de ruido se mide en escala logarítmica. 60 dB en una sala de clases vs 90 dB en una discoteca — no son 1,5 veces más fuerte: son 1.000 veces más intensos.
• pH: la acidez de una solución química. Un pH 4 es 10 veces más ácido que un pH 5.
• Tiempo de algoritmos: en computación, muchos algoritmos eficientes tardan log(n) operaciones — crece muy lento aunque n sea enorme.

¿Qué nos resuelve?

• Identificar el gráfico correcto de f(x) = log(x) entre varias opciones.
• Problemas en escala logarítmica (Richter, dB, pH).
• Ecuaciones donde la incógnita está en el exponente: "¿cuántos años para que una inversión se duplique?"
• Transformaciones del gráfico: desplazamientos verticales y horizontales, reflexiones.
• Determinar dominio y rango de funciones logarítmicas.

Conceptos clave antes de resolver

Definición y bases más usadas

Notación	Base	Nombre	Uso típico
log(x)	10	Logaritmo decimal	Richter, dB, pH
ln(x)	e ≈ 2,718	Logaritmo natural	Crecimiento/decaimiento
log2(x)	2	Logaritmo binario	Computación

¿Qué es una asíntota?

Antes de ver las características del gráfico, conviene entender este concepto que aparece constantemente en funciones logarítmicas.

Asíntota vertical: una línea recta vertical (x = k) que el gráfico de la función se acerca cada vez más, pero nunca llega a tocar ni cruzar. La función no existe en ese valor de x.

En la función logarítmica f(x) = log(x), la asíntota vertical está en x = 0 (el eje y). ¿Por qué? Porque log(0) no existe — el gráfico se acerca infinitamente al eje y por la derecha, pero nunca lo toca.

Características del gráfico

Característica	Base a > 1	Base 0 < a < 1
Comportamiento	Creciente	Decreciente
Dominio	x > 0	x > 0
Rango	Todos los reales	Todos los reales
Punto fijo	(1, 0) siempre	(1, 0) siempre
Asíntota	Vertical: x = 0	Vertical: x = 0

Propiedades operatorias

log(x · y) = log(x) + log(y)
log(x / y) = log(x) − log(y)
log(xⁿ) = n · log(x)
log_a(a) = 1  ·  log_a(1) = 0

Puntos notables de log base 10

x	log(x)	¿Por qué?
0,01	−2	10−2 = 0,01
0,1	−1	10−1 = 0,1
1	0	100 = 1
10	1	101 = 10
100	2	102 = 100
1.000	3	103 = 1.000

¿Cómo resolver?

Identificar el gráfico correcto

Cuando una pregunta muestra 4 gráficos y pide cuál corresponde a f(x) = log(x):

1. Descarta los que tienen dominio en todos los reales — la logarítmica solo existe para x > 0.
2. Verifica que pase por (1, 0) — es el punto fijo universal de toda logarítmica base positiva ≠ 1.
3. Confirma la asíntota vertical en x = 0 — el gráfico se acerca al eje y pero nunca lo toca.
4. Revisa el comportamiento: base > 1 → creciente; base entre 0 y 1 → decreciente.

Ejemplo: f(x) = log₁₀(x). Pasa por (1,0) y por (10,1). Creciente. Asíntota en x = 0.

Transformaciones del gráfico

La función base es f(x) = log_a(x). Cuando se le suman o restan valores, el gráfico se desplaza sin cambiar su forma.

Forma general: f(x) = log_a(x − h) + k

Parámetro	Qué hace	Efecto en la asíntota	Ejemplo
h (dentro del log)	Desplaza el gráfico horizontalmente	La asíntota se mueve a x = h	log(x − 4) → asíntota en x = 4
k (fuera del log)	Desplaza el gráfico verticalmente	La asíntota no cambia	log(x) + 3 → asíntota sigue en x = 0

Ejemplo: f(x) = log(x + 4) + 3
— El +4 está dentro: desplaza 4 unidades a la izquierda → asíntota en x = −4.
— El +3 está fuera: sube el gráfico 3 unidades → la asíntota vertical no cambia.
— El punto fijo ya no es (1, 0), sino (−3, 3): x tal que x+4=1 → x=−3, y=0+3=3.

Evaluar la función en un punto

1. Escribir log_a(x) = y como aʸ = x.
2. Buscar a qué potencia hay que elevar la base para obtener x.

Ejemplo: log₂(32) = ? → ¿A qué potencia elevamos 2 para obtener 32? → 2⁵ = 32 → resultado: 5

Determinar el dominio

El dominio son los valores de x para los cuales la función existe. La regla es simple: el argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero.

1. Identificar el argumento — la expresión que está dentro del logaritmo.
2. Escribir la inecuación: argumento > 0.
3. Despejar x — resolver la inecuación.
4. Escribir el intervalo — siempre con paréntesis/corchete abierto en el límite.

Ejemplo 1: g(x) = log₅(x − 7)
Argumento: x − 7 > 0 → x > 7 → Dominio: ]7, +∞[

Ejemplo 2: h(x) = log(2x + 6)
Argumento: 2x + 6 > 0 → 2x > −6 → x > −3 → Dominio: ]−3, +∞[

Regla práctica: el límite del dominio siempre coincide con el valor de la asíntota vertical. Si la asíntota está en x = −3, el dominio empieza en ]−3, +∞[.

Resolver una ecuación logarítmica

1. Aislar el logaritmo.
2. Convertir: log_a(x) = k → x = a^k.
3. Verificar que la solución tenga x > 0.

Ejemplo: log(x) = 3 → x = 10³ = 1.000

Problemas en escala logarítmica (Richter / dB)

La escala Richter funciona así: si la magnitud aumenta en 1 unidad, la intensidad se multiplica por 10.

1. Calcular la diferencia de magnitudes: Δm = m₂ − m₁.
2. La razón de intensidades es 10^Δm.

Ejemplo: Un sismo de magnitud 8 vs uno de magnitud 6. Δm = 2. Razón = 10² = 100 veces más intenso.

Caminos más fáciles

• El punto (1, 0) es universal: toda función log_a(x) con a > 0 y a ≠ 1 pasa por (1, 0). Úsalo para descartar opciones en alternativas.
• Convierte log a exponencial: ante cualquier logaritmo que no reconoces, escríbelo como potencia. log₃(81) = ? → 3^? = 81 → 3⁴ = 81 → 4.
• Para Richter y dB: la diferencia de unidades se convierte directamente en potencia de 10. Δm unidades = 10^Δm veces más intenso.
• Logarítmica vs exponencial en el gráfico: son simétricas respecto a la recta y = x. Si reconoces la exponencial, la logarítmica es su "espejo".
• Dominio inmediato: si ves log(expresión), el argumento debe ser > 0. Esa condición a veces elimina alternativas directo.

Errores que hay que evitar

• log(x + y) ≠ log(x) + log(y) — la propiedad de suma aplica al producto, no a la suma: log(x · y) = log(x) + log(y).
• log(0) no existe — el dominio es x > 0 estricto. Tampoco existe log de negativos.
• Confundir base: log sin subíndice es base 10, ln es base e. En contextos PAES sin especificación, asumir base 10.
• Gráfico en todos los reales: elegir un gráfico que existe para x negativo es error — la logarítmica tiene asíntota vertical en x = 0.

Resumen rápido

• f(x) = log_a(x) ↔ aˣ = y — logaritmo y exponencial son inversas.
• Dominio: x > 0 siempre. Rango: todos los reales.
• Pasa siempre por (1, 0). Asíntota vertical en x = 0.
• Base > 1 → creciente. Base entre 0 y 1 → decreciente.
• Propiedades: log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x − log y; log(xⁿ) = n·log x.
• Richter/dB: diferencia de n unidades = 10ⁿ veces más intenso.