📐 Guía Práctica: Eje de Geometría
Desde calcular el área de una figura hasta aplicar el Teorema de Pitágoras, esta guía te ayudará a visualizar y resolver problemas geométricos.
Resuelve los ejercicios para completar tu progreso
El Mundo de las Formas y Medidas
La geometría es la rama de la matemática que estudia las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio. Aquí practicarás cómo calcular sus medidas y entender sus relaciones.
Visualiza siempre las figuras geométricas. Hacer dibujos y diagramas te ayudará enormemente a comprender los problemas y encontrar las soluciones correctas.
Tema: Geometría Plana (2D)
Áreas, perímetros, Teorema de Pitágoras y semejanza de triángulos
Rectángulo: Área = largo × ancho
Círculo: Perímetro = 2πr, Área = πr²
Pitágoras: a² + b² = c²
Thales: a/b = c/d (semejanza)
1. Un jardín rectangular de 10 metros de largo por 6 metros de ancho tiene un camino de 1 metro de ancho que lo rodea por fuera. ¿Cuál es el área del camino?
Respuesta Correcta: A) 36 m²
Paso 1: Calcular dimensiones del rectángulo grande
El camino añade 1 metro a cada lado, por lo que se suman 2 metros al largo y 2 al ancho.
Largo total: 10 + 2 = 12 m
Ancho total: 6 + 2 = 8 m
Paso 2: Calcular áreas
Área total: 12 × 8 = 96 m²
Área jardín: 10 × 6 = 60 m²
Paso 3: Encontrar el área del camino
Área del camino = Área total - Área jardín
96 - 60 = 36 m²
2. Una escalera de 5 metros de largo está apoyada contra una pared. La base de la escalera está a 3 metros de la base de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
Respuesta Correcta: B) 4 metros
Identificar el triángulo rectángulo
La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo donde:
• Escalera = hipotenusa = 5m
• Distancia al muro = cateto = 3m
• Altura en la pared = cateto = ?
Aplicar el Teorema de Pitágoras
a² + b² = c²
h² + 3² = 5²
h² + 9 = 25
Resolver para la altura
h² = 25 - 9 = 16
h = √16 = 4
La escalera llega a una altura de 4 metros.
3. La sombra de un poste de 6 metros de altura mide 4 metros. A la misma hora, ¿cuánto mide la sombra de una persona de 1,80 metros de altura?
Respuesta Correcta: A) 1,2 metros
Concepto: Semejanza de triángulos
A la misma hora, los rayos del sol forman el mismo ángulo, creando triángulos semejantes.
Por el Teorema de Thales, las razones son iguales.
Plantear la proporción
Altura_Poste / Sombra_Poste = Altura_Persona / Sombra_Persona
6 / 4 = 1.80 / x
Resolver para x
x = (4 × 1.80) / 6 = 7.2 / 6 = 1.2
La sombra de la persona mide 1,2 metros.
4. ¿Cuál es el perímetro (o longitud) de una circunferencia cuyo radio es de 5 cm? (Considera π ≈ 3,14)
Respuesta Correcta: B) 31,4 cm
Fórmula del perímetro de circunferencia
La fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia es:
P = 2 × π × r
Reemplazar los valores dados
r = 5 cm, π ≈ 3,14
P = 2 × 3,14 × 5
Resolver la operación
P = 10 × 3,14 = 31,4
El perímetro de la circunferencia es 31,4 cm.
Tema: Geometría del Espacio (3D) y Cartesiana
Volúmenes, coordenadas cartesianas y transformaciones
Cilindro: V = π × r² × h
Cono: V = (1/3) × π × r² × h
Distancia: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
Traslación: P' = P + v
5. ¿Cuál es el volumen de un tarro de conservas cilíndrico de 10 cm de altura y 4 cm de radio? (Considera π ≈ 3)
Respuesta Correcta: C) 480 cm³
Fórmula del volumen de un cilindro
V = π × r² × h
Donde r = radio y h = altura
Reemplazar los valores dados
r = 4 cm, h = 10 cm, π ≈ 3
V = 3 × (4)² × 10
Resolver la operación
V = 3 × 16 × 10 = 480
El volumen es de 480 cm³.
6. Un punto P(5, -2) se traslada según el vector v(-3, 6). ¿Cuáles son las coordenadas del punto trasladado P'?
Respuesta Correcta: C) (2, 4)
Concepto de traslación
Para trasladar un punto, se suman las coordenadas del punto original con las componentes del vector de traslación.
P'(x', y') = P(x, y) + v(a, b)
Aplicar la traslación
P(5, -2) + v(-3, 6)
Coordenada X': 5 + (-3) = 2
Coordenada Y': -2 + 6 = 4
Resultado
Las nuevas coordenadas son P'(2, 4).
7. ¿Cuál es el volumen de un cono de 10 cm de altura y cuyo radio basal es de 3 cm? (Considera π ≈ 3)
Respuesta Correcta: B) 90 cm³
Fórmula del volumen de un cono
V = (1/3) × π × r² × h
Donde r = radio de la base y h = altura
Reemplazar los valores
r = 3 cm, h = 10 cm, π ≈ 3
V = (1/3) × 3 × (3)² × 10
Resolver la operación
V = (1/3) × 3 × 9 × 10
V = 1 × 9 × 10 = 90
El volumen del cono es 90 cm³.
8. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(4, 6) en el plano cartesiano?
Respuesta Correcta: C) 5
Fórmula de distancia entre puntos
La distancia entre dos puntos se calcula usando:
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
Identificar las coordenadas
A(1, 2): x₁=1, y₁=2
B(4, 6): x₂=4, y₂=6
Aplicar la fórmula
d = √[(4-1)² + (6-2)²]
d = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5
La distancia entre los puntos es 5 unidades.
9. En un triángulo ABC, el lado AB mide 8 cm, el lado BC mide 6 cm y el ángulo entre ellos es de 90°. ¿Cuál es el área del triángulo?
Respuesta Correcta: B) 24 cm²
Identificar el tipo de triángulo
Como el ángulo entre AB y BC es de 90°, este es un triángulo rectángulo.
AB y BC son los catetos (base y altura).
Fórmula del área
Para un triángulo rectángulo: Área = (base × altura) / 2
Base = AB = 8 cm
Altura = BC = 6 cm
Calcular el área
Área = (8 × 6) / 2 = 48 / 2 = 24
El área del triángulo es 24 cm².
10. Una figura está compuesta por un rectángulo de 12 cm × 8 cm y un semicírculo cuyo diámetro coincide con uno de los lados menores del rectángulo. ¿Cuál es el área total? (Considera π ≈ 3,14)
Respuesta Correcta: A) 121,12 cm²
Calcular el área del rectángulo
Área_rectángulo = largo × ancho = 12 × 8 = 96 cm²
Determinar el radio del semicírculo
El diámetro del semicírculo = lado menor = 8 cm
Por lo tanto: radio = 8 ÷ 2 = 4 cm
Calcular el área del semicírculo
Área_círculo = π × r² = 3,14 × 4² = 3,14 × 16 = 50,24 cm²
Área_semicírculo = 50,24 ÷ 2 = 25,12 cm²
Sumar las áreas
Área_total = 96 + 25,12 = 121,12 cm²
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