f(x) Guía Práctica: Álgebra y Funciones
Desde despejar 'x' hasta interpretar funciones, esta guía te ayudará a fortalecer tus habilidades algebraicas con ejercicios prácticos.
Resuelve los ejercicios para completar tu progreso
¿Por qué es importante el Álgebra?
El álgebra es el lenguaje que usamos para describir relaciones y resolver problemas con incógnitas. Dominar sus herramientas, como las ecuaciones y funciones, es esencial para entender el mundo a través de la matemática.
¡Recuerda! Los productos notables como el Cuadrado de Binomio y la Suma por su Diferencia son atajos que te ahorrarán mucho tiempo. ¡Memorízalos!
Tema: Expresiones Algebraicas
Factorización, productos notables y simplificación
Cuadrado de Binomio: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Suma por Diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²
1. ¿Cuál es el resultado de (2x - 3)²?
Respuesta Correcta: B) 4x² - 12x + 9
Paso 1: Identificar 'a' y 'b'
Usamos la fórmula (a - b)² = a² - 2ab + b². Aquí, a = 2x y b = 3.
Paso 2: Aplicar la fórmula
(2x)² - 2(2x)(3) + (3)²
4x² - 12x + 9
2. Al factorizar la expresión x² - 81, se obtiene:
Respuesta Correcta: C) (x - 9)(x + 9)
Concepto: Suma por Diferencia
La fórmula es a² - b² = (a - b)(a + b).
Análisis
Las raíces cuadradas de cada término son: √x² = x y √81 = 9. Aplicando la fórmula, obtenemos (x - 9)(x + 9).
3. Al simplificar la expresión (x² + 5x + 6) / (x + 2), se obtiene:
Respuesta Correcta: A) x + 3
Paso 1: Factorizar el numerador
Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados 5. Son 2 y 3. El trinomio factorizado es (x + 2)(x + 3).
Paso 2: Simplificar
La fracción es [(x + 2)(x + 3)] / (x + 2). Cancelamos el término común (x + 2).
El resultado es x + 3 (considerando x ≠ -2).
Tema: Ecuaciones y Funciones
Resolución de ecuaciones, sistemas y evaluación de funciones
4. La suma de dos números es 21 y su diferencia es 5. ¿Cuál es el número mayor?
Respuesta Correcta: C) 13
Paso 1: Plantear el sistema
x + y = 21x - y = 5
Paso 2: Resolver por reducción
Sumando ambas ecuaciones: 2x = 26. Al despejar, x = 13.
5. Si f(x) = 3x² - 2x + 1, ¿cuál es el valor de f(-2)?
Respuesta Correcta: C) 17
Paso 1: Reemplazar 'x' por -2
f(-2) = 3(-2)² - 2(-2) + 1
Paso 2: Calcular
f(-2) = 3(4) + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
6. ¿Cuál es el vértice de la parábola f(x) = (x - 3)² + 4?
Respuesta Correcta: C) (3, 4)
Forma Canónica
La forma f(x) = a(x - h)² + k revela el vértice en el punto (h, k). El signo de 'h' se invierte.
Identificación
Comparando, h = 3 y k = 4. El vértice es (3, 4).
7. En una granja hay patos y vacas. Si se cuentan 30 cabezas y 80 patas, ¿cuántos patos hay?
Respuesta Correcta: C) 20
Paso 1: Plantear el sistema
P + V = 30 (cabezas)2P + 4V = 80 (patas)
Paso 2: Resolver
Multiplicando la primera ecuación por -2: -2P - 2V = -60. Sumándola a la segunda, obtenemos 2V = 20, por lo que V = 10. Si hay 10 vacas, debe haber 30 - 10 = 20 patos.
8. ¿Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación cuadrática x² - 3x - 10 = 0?
Respuesta Correcta: C) x=5, x=-2
Factorización
Buscamos dos números que multiplicados den -10 y sumados -3. Son -5 y +2. La ecuación factorizada es (x - 5)(x + 2) = 0.
Soluciones
Para que el producto sea cero, x - 5 = 0 (x=5) o x + 2 = 0 (x=-2).
9. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación 3x - 5 ≤ x + 1?
Respuesta Correcta: B) x ≤ 3
Paso 1: Agrupar términos
3x - x ≤ 1 + 5
Paso 2: Despejar 'x'
2x ≤ 6 → x ≤ 3
10. Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², ¿cuál es el valor de (g o f)(3)?
Respuesta Correcta: C) 49
Paso 1: Calcular f(3)
La composición (g o f)(3) es g(f(3)). Primero, f(3) = 2(3) + 1 = 7.
Paso 2: Calcular g(f(3))
Ahora calculamos g(7). Como g(x) = x², entonces g(7) = 7² = 49.
¡Sigue Practicando!
Próximamente añadiremos más guías sobre función potencia y logarítmica. ¡Vuelve pronto!